Enunciado

  1. Mostre que um campo de força constante realiza trabalho nulo sobre uma partícula que dá uma única volta completa uniformemente na circunferência x 2 + y 2 = 1 .
  2. Isso também é verdadeiro para um campo de força F → x → = k x → , onde k é uma contante e x → = x , y ?

Passo 1

Oi galera, tudo bem? Como relembrar é viver, antes de qualquer coisa, vamos puxar da memória como se calcula o trabalho W :

W = ∫ C F → ⋅ d r →

Show!

Pra mostrar o que se pede na letra ( a ) vamos primeiro parametrizar a curva C , que é uma circunferência de raio 1 :

x = c o s t ,     y = s e n t

E o vetor posição r → ( t ) fica:

r → = c o s t i → + s e n t j →

Onde o parâmetro t   está entre:

0 ≤ t ≤ 2 π

E o vetor d r → ? Bom, ele é a derivada de r → :

d r → = - s e n t . d t   i → + c o s t . d t   j →

Beleza!

Passo 2

Vamos ver agora a força! No enunciado diz que ela é constante, então podemos supor que suas componentes são, por exemplo, a e b :

F → = a i → + b j →

Passo 3

Legal! O próximo passo é fazer o produto escalar entre F → e d r → (pois é o integrando do trabalho!):

F → ⋅ d r → = a , b ⋅ - s e n t   d t ,   c o s t   d t = ( - a s e n t + b c o s t ) d t

Certo! Agora já podemos colocar na integral e calcular!

W = ∫ 0 2 π ( - a s e n t + b c o s t ) d t = a . cos ⁡ t +   b . s e n   t 0 2 π = a . 1 - b . 0 - a . 1 - b . 0

W = a - a = 0

Show! É exatamente esse resultado que esperávamos! Vamos pra próxima letra?

Passo 4

Vou usar a mesma parametrização, já que a curva é a mesma! Resgatando lá do passo 1 temos:

r → = c o s t i → + s e n t j →

E

d r → = - s e n t . d t   i → + c o s t . d t   j →

A força que agora é um pouco diferente. Vai ser:

F → = K x i → + K y j →

E na variável de parametrização ela fica:

F → = K c o s t   i → + K s e n t   j →

Passo 5

Legal! O próximo passo é fazer o produto escalar entre F → e d r → :

F → ⋅ d r → = K c o s t , K   s e n t ⋅ - s e n t   d t ,   c o s t   d t = - K c o s t   s e n t + K s e n t   c o s t d t = 0

Certo! Agora já podemos colocar na integral e calcular!

W = ∫ 0 2 π 0 d t = 0

W = 0

E a resposta é sim! É verdadeiro!

Resposta

a W = 0

b S i m ,   W = 0

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