Teorema de Green

Ver Todos os Exercícios

Teoria

Fala aí! Seja bem vindo ao Responde Aí! Bora aprender como usar o Teorema de Green de uma vez por todas?

O que é o Teorema de Green?

O Teorema de Green é uma ferramenta utilizada para calcular integrais de linha que não são possíveis de serem calculadas pela definição ou que até dão para serem calculadas pela definição, mas daria um trabalho enorme!

A fórmula do teorema de Green é a seguinte:

Teorema de Green
Teorema de Green

Parece meio complicado, não é? Mas, calma, sem desespero, vamos ver detalhadamente isso aí.

📢 Clique para saber mais:

Vamos ver com um exemplo que fica mais fácil, beleza?

Exemplo: Resolva a Seguinte Integral de Linha

Teorema de Green: Exemplo
Teorema de Green: Exemplo

Onde o é a curva sobre a qual a integral de linha será feita, é uma circunferência dada por: .

Você pode conferir a resolução desse exemplo nesse vídeo super completo sobre Teorema de Green, que o Responde Aí preparou pra você! 🧡 👇

Ou então você pode conferir a resolução em texto!

A primeira coisa que precisamos descobrir é quem vai ser esse que aparece na integral dupla, ou seja, quem vai ser o domínio de integração da integral dupla. Esse domínio de integração, será a região que está sendo delimitada pela a curva fechada na integral de linha.

No nosso exemplo, nós temos que a integral de linha é sobre uma circunferência de raio , então o domínio de integração, , da integral dupla será a região que está dentro dessa circunferência, como mostra a figura:

Região D
Região D

Beleza, agora sabemos quem é o nosso , é a região tal que .

Mas, aqui temos uma observação muito muito importante: quando vamos resolver uma integral de linha levamos em consideração a orientação da curva, então para aplicarmos o teorema de Green também precisaremos levar em consideração a orientação. Para o teorema, devemos garantir que a curva está orientada positivamente. Mas o que seria isso?

Imagine que você está caminhando sob a curva , no sentido que mostra a figura:

Região D orientada positivamente
Região D orientada positivamente

Quando você caminha nesse sentido, você ver o domínio à sua esquerda, então essa é a orientação positiva da curva . Quando estamos falando do plano , a orientação positiva é sempre o sentido anti-horário.

Agora que definimos o domínio de integração vamos continuar nosso exemplo e ver quem será o integrando da nossa integral.

Pelo teorema de Green o integrando da integral dupla é:

Quem é e no nosso problema? é quem está multiplicado por na integral de linha e é quem está multiplicado por . Então:

Agora podemos calcular as derivadas parciais:

Assim, o nosso integrando será:

Agora podemos escrever o teorema de Green:

Pelo teorema, para calcularmos a integral de linha basta calcularmos essa integral dupla da direita, que nesse caso é bem simples:

á

A área de é a área daquele círculo de raio delimitado pela curva que vimos lá no início. Então:

E pelo teorema de Green, esse é o resultado da nosso integral de linha:

Prontinho!

Como Utilizar o Teorema de Green: Passo a Passo

Pra gente fechar nosso papo de hoje, eu vou deixar aqui um resuminho esperto do passo a passo para aplicar o teorema de Green!

PASSO 1: Montar o problema, verificando as condições de aplicação do teorema

  • é uma curva fechada;
  • está orientada positivamente;
  • As função e estão bem definidas em toda a região .

PASSO 2: Achar a região de integração

Essa será a curva sobre a qual a integral de linha será feita!

PASSO 3: Calcular

Calculamos as derivadas parciais de e em relação a e a , respectivamente.

PASSO 4: Montar a integral dupla e calcular

Nesse último passo a gente resolver a integral dupla como de costume!

Agora vamos praticar com exercícios!

Como Utilizar o Teorema de Green: Passo a Passo

Exercícios Resolvidos

Exercício Resolvido #1

Utilize o Teorema de Green para calcular a integral de linha ∮ C e x + y 2 d x + e y + x 2 d y , onde C é a fronteira da região entre y = x 2 e y = x , percorrida no sentido anti-horário.

Passo 1

Vamos esboçar a região para entender melhor o problema. Temos uma reta y = x e uma parábola y = x 2 :

Para podermos aplicar o Teorema de Green, orientamos positivamente a curva.

Passo 2

Agora vamos calcular ∂ F 2 ∂ x - ∂ F 1 ∂ y

Temos

F x , y = e x + y 2 , e y + x 2

∂ F 2 ∂ x - ∂ F 1 ∂ y = ∂ ( e y + x 2 ) ∂ x - ∂ ( e x + y 2 ) ∂ y = 2 x - 2 y

Passo 3

Agora vamos montar a integral dupla, utilizando o Teorema de Green:

∫ C e x + y 2 d x + e y + x 2 d y = 2 ∬ D x - y   d x d y

Onde D é a região limitada pela curva C , que vimos lá em cima.Vamos, então, descrever essa região para reescrever essa integral dupla em iterada. Temos que y varia entre y = x e a parábola y = x 2 e 0 ≤ x ≤ 1 .

Nossa integral passa a ser então:

2 ∫ 0 1 ∫ x 2 x x - y   d y d x

Passo 4

Começaremos integrando em relação a y :

= 2 ∫ 0 1 x y - y 2 2 x 2 x d x =

= 2 ∫ 0 1 x 2 - x 2 2 - x 3 + x 4 2 d x =

= 2 ∫ 0 1 x 2 2 - x 3 + x 4 2 d x =

Passo 5

Agora em relação a x :

= 2 x 3 6 - x 4 4 + x 5 10 0 1

= 2 1 6 - 1 4 + 1 10

= 1 3 - 1 2 + 1 5

= 1 30

Resposta

1 30

Exercício Resolvido #2

Calcule a integral de linha do campo vetorial F x , y = y 3 3 x + e cos ⁡ x ,   sen ⁡ y 3 + 1 ao longo da curva C , sendo C o bordo da região Ω definida pela interseção das seguinte regiões 3 x 2 ≥ π y , 3 x 2 ≤ 2 π y , y 2 ≥ 2 x e y 2 ≤ 4 x . Além disso, assuma que C é orientada no sentido horário.

Passo 1

Então, galerinha, aqui nós temos uma integral de linha para ser resolvida. Porém se fossemos parametrizar essa curva, teríamos que separar em 4 curvas e parametrizar individualmente. E isso iria gerar muito trabalho. Além disso, tem aquele termo sen ⁡ y 3 que pode gerar coisas nem tão simples de integrar.

Por isso vamos resolver essa questão aplicando o teorema de Green, pois ele vai transformar essa integral de linha em uma integral dupla, mais simples de ser resolvida. O teorema nos diz:

∫ C _   F ⋅ d r = ∬ Ω   ∂ F 2 ∂ x - ∂ F 1 ∂ y d x d y

Mas devemos lembrar que a curva deve ser orientada positivamente, que não é o que acontece no enunciado, já que temos C no sentido horário. Assim, nosso teorema ficará:

∫ C   F ⋅ d r = - ∬ Ω   ∂ F 2 ∂ x - ∂ F 1 ∂ y d x d y

Onde, pelo enunciando, temos que

F x , y = y 3 3 x + e cos ⁡ x ,   sen ⁡ y 3 + 1

Separando em termos de F 1 e F 2 , temos

F 1 = y 3 3 x + e cos ⁡ x

F 2 = sen ⁡ y 3 + 1

Então agora, é achar essas derivadas parciais e resolver essa integral dupla. Lembrando que os limites de integração serão dados pela região Ω .

Passo 2

A gente já sabe quem é F 1 e F 2 . Então agora vamos agora calcular ∂ F 2 ∂ x - ∂ F 1 ∂ y :

∂ F 2 ∂ x = ∂ ∂ x sen ⁡ y 3 + 1 = 0

∂ F 1 ∂ y = ∂ ∂ y y 3 3 x + e cos ⁡ x = 3 y 2 3 x = y 2 x

∂ F 2 ∂ x - ∂ F 1 ∂ y = - y 2 x

Passo 3

Aplicando o teorema de Green, temos:

∫ C   F ⋅ d r = - ∬ Ω   ∂ F 2 ∂ x - ∂ F 1 ∂ y d x d y = ∬ Ω   y 2 x d x d y

Passo 4

Agora temos que achar nossos limites de integração. Porém parece complicado descrever a região Ω em termos de x e y . Deste modo, vamos fazer uma mudança de variáveis.

A região Ω é definida pela interseção das seguintes regiões:

3 x 2 ≥ π y → x 2 y ≥ π 3

3 x 2 ≤ 2 π y →   x 2 y ≥ 2 π 3

y 2 ≥ 2 x → y 2 x ≥ 2

y 2 ≤ 4 x →   y 2 x ≥ 4

Repara que temos um padrão! Todas são parábolas que podemos representar dessa forma

x 2 y = a l g u m   n ú m e r o

y 2 x = a l g u m   n ú m e r o

Esse padrão nos sugere qual mudança de variável irá nos ajudar na resolução. Deste movo vamos chamar:

y 2 x = u

x 2 y = v

Passo 5

Agora temos que encontrar os intervalos de integração em u e v . Fazendo a substituição de variáveis das equações das parábolas temos:

3 x 2 = π y   → 3 x 2 y = π → 3 v = π   → v = π / 3

3 x 2 = 2 π y   → 3 x 2 y = 2 π → 3 v = 2 π   → v = 2 π / 3

y 2 = 2 x   → y 2 x = 2 → u = 2

y 2 = 4 x   → y 2 x = 4 → u = 4

Ou seja, π / 3 ≤ v ≤ 2 π / 3 e 2 ≤ u ≤ 4 .

Passo 6

Galerinha, lembrando que sempre que fizermos uma mudança de variável, precisaremos calcular o Jacobiano!

Neste, é vamos achar o Jacobiano da transformação inversa para facilitar nosso cálculo e depois inverter o resultado. Ele é dado por:

J * = ∂ ( u ,   v ) ∂ ( x ,   y )

J * = ∂ ( u ,   v ) ∂ ( x ,   y ) = ∂ u ∂ x ∂ u ∂ y ∂ v ∂ x ∂ v ∂ y = - y 2 x 2 2 y x 2 x y - x 2 y 2 = - 3

Invertendo o resultado, temos

J * = 1 J

J = - 1 3

J = 1 3

Passo 7

Substituindo os valores que encontramos na integral, temos:

∬ Ω   y 2 x d x d y = ∫ π / 3 2 π / 3 ∫ 2 4 u × 1 3   d u d v

Passo 8

Integrando em relação a u :

1 3   ∫ π / 3 2 π / 3 ∫ 2 4 u   d u d v =

= 1 3 ∫ π / 3 2 π / 3 u 2 2 u = 2 u = 4 d v =

= 1 6 ∫ π / 3 2 π / 3 16 - 4 d v =

1 6 ∫ π / 3 2 π / 3 12 d v =

= 2 ∫ π / 3 2 π / 3 d v =

Passo 9

Agora em relação a v :

= 2 v π / 3 2 π / 3 =

= 2 2 π 3 - π 3 =

Resposta

2 π 3

Exercício Resolvido #3

Calcule

∮ C   x 2 - y 2 2 d x + x 2 2 + y 4 d y

onde C é a fronteira da região D definida por

D = x , y ∈ R 2 1 ≤ x 2 + y 2 ≤ 4 ,   x ≥ 0 ,   y ≥ 0

orientada no sentido anti-horário.

Passo 1

Vamos fazer um esboço da curva:

Como x 2 + y 2 é o raio de uma circunferência, a região está limitada por uma circunferência de raio 1 e outra de raio 2 . Como temos x ≥ 0 e y ≥ 0 , tomamos apenas o 1º quadrante.

Essa curva (a fronteira da região) é formada por 4 segmentos, cada um com uma parametrização. Isso ia gerar muito trabalho. Isso é uma dica de que pode ser uma boa usar o Teorema de Green, vamos tentar!

Passo 2

O campo vetorial da questão pode ser escrito como

F = x 2 - y 2 2 , x 2 2 + y 4

Vamos agora calcular ∂ F 2 ∂ x - ∂ F 1 ∂ y :

∂ F 2 ∂ x = ∂ ∂ x x 2 2 + y 4 = x

∂ F 1 ∂ y = ∂ ∂ y x 2 - y 2 2 = - y

∂ F 2 ∂ x - ∂ F 1 ∂ y = x - - y = x + y

Passo 3

Agora podemos montar a integral. Aplicando o teorema de Green, a integral do enunciado pode ser escrita como:

∬ D   x + y d x d y

Note que a curva está orientada positivamente!

Passo 4

Como a região D está compreendida entre dois arcos de circunferência, a melhor saída aqui são as coordenadas polares. Faremos:

x = r cos ⁡ θ

y = r sen ⁡ θ

J = r

Pelo próprio gráfico, vemos que 0 ≤ θ ≤ π / 2 , o que equivale a 1 / 4 de circunferência. Os valores de r variam entre os dois arcos, logo 1 ≤ r ≤ 2 . Temos, então:

∫ 0 π / 2 ∫ 1 2 ( r cos ⁡ θ + r   sen ⁡ θ ) r   d r d θ = ∫ 0 π / 2 ∫ 1 2 cos ⁡ θ + sen ⁡ θ r 2   d r d θ =

Passo 5

Agora podemos calcular a integral. Integrando em relação a r temos:

= ∫ 0 π / 2 cos ⁡ θ + sen ⁡ θ r 3 3 r = 1 r = 2 d θ =

= 7 3 ∫ 0 π / 2 cos ⁡ θ + sen ⁡ θ d θ =

Passo 6

Integramos, então, em relação a θ :

= 7 3 sen ⁡ θ - cos ⁡ θ 0 π / 2 =

= 7 3 1 - 0 - 0 - 1 =

Resposta

14 3

Exercício Resolvido #4

Use a fórmula do teorema de Green para encontrar a área da região limitada pela curva:

C : o   a s t r o i d e   r t = c o s 3 t   i + s e n 3 t   j

0 ≤ t ≤ 2 π

(Sugestão: Use F → = - y 2 , x 2 )

Passo 1

O enunciado pede pra usar o teorema de Green para o cálculo de área, então vamos relembrar como que fica isso.

O teorema de Green nos diz que:

∮ ∂ D   F 1 d x + F 2 d y     =   ∬ D   ∂ F 2 ∂ x - ∂ F 1 ∂ y d x d y

E sabemos que o podemos encontrar a área pela integral dupla:

A D = ∬ D d x d y

Então, basicamente, o que temos que fazer pra ligar as coisas é:

∬ D   ∂ F 2 ∂ x - ∂ F 1 ∂ y d x d y = ∬ D d x d y → ∂ F 2 ∂ x - ∂ F 1 ∂ y = 1

Os campos mais simples que satisfazem essa condição costumam ser:

F → x , y = 0 , x   o u   F → x , y = - y , 0  

Mas deve ter algum motivo pra ele ter sugerido um campo um pouquinho mais complicado, vamos ver porquê!

Passo 2

O enunciado já diz que C é a fronteira da região que chamamos de D , ou seja, C = ∂ D .

Então o que vamos calcular é:

∬ D d x d y = ∮ ∂ D     F 1 d x + F 2 d y   = ∫ 0 2 π F → x t , y t . σ → ' t   d t

Já temos o campo e a curva, então só falta o vetor tangente, que calculamos fazendo a derivada da nossa parametrização em função de t, dada no enunciado σ → ( t ) :

σ → ' t = d c o s 3 t   d t , d s e n 3 t   d t = - s e n   t   ⋅ 3 c o s 2 t   , c o s   t   ⋅ 3 s e n 2 t  

E agora já temos o que precisamos pra calcularmos nossa integral.

Passo 3

Então, com os campos mais simples teríamos:

∫ 0 2 π 0 , c o s 3 t   . - s e n   t   ⋅ 3   c o s 2 t   , c o s   t   ⋅ 3   s e n 2 t       d t

= ∫ 0 2 π 0 + 3   c o s 4 t   .   s e n 2 t   d t

O que seria bem complicado de calcular, e você pode tentar fazer com - y , 0 , mas eu acredito que vai dar algo tão complicado quanto. Vamos torcer pra o campo sugerido dê algo mais tranquilo...

Vamos calcular então a nossa integral:

∫ 0 2 π F → x t , y t . σ → ' t   d t

∫ 0 2 π - s e n 3 t   2 , c o s 3 t   2 . - s e n   t   ⋅ 3   c o s 2 t   , c o s   t   ⋅ 3   s e n 2 t   d t

= 3 2 ∫ 0 2 π s e n 4 t   c o s 2 t   + ( c o s 4 t )   .   ( s e n 2 t )     d t

= 3 2 ∫ 0 2 π s e n 2 t   c o s 2 t   c o s 2 t   + s e n 2 t     d t

= 3 2 ∫ 0 2 π s e n   t   c o s   t   2 d t

= 3 2 ∫ 0 2 π s e n   2 t   2 2 d t = 3 8 ∫ 0 2 π s e n 2   2 t   d t

O que não é nada absolutamente trivial, mas é mais tranquilo que o que tínhamos tentado com F → = ( 0 , x ) . É só lembrar que que s e n 2 θ   = 1 - c o s   2 θ   2 , que vamos ter:

3 8 ∫ 0 2 π s e n 2   2 t   d t = 3 8 ∫ 0 2 π 1 2 d t - ∫ 0 2 π c o s   4 t   2 d t

Integrando isso daí, vamos ficar com:

= 3 16 t │ 0 2 π - s e n   4 t   4 | 0 2 π = 3 π 8

Resposta

3 π 8

Exercício Resolvido #5

Use o Teorema de Green para calcular a área da região plana A do primeiro quadrante delimitada por y = x ,   y = 1 x e y = x 9 .

Passo 1

A gente viu na teoria que podemos utilizar o teorema de Green para calcularmos a área de uma região se lembrarmos que a área pode ser calculada pela integral dupla:

Á r e a = ∬ A   d x d y

E nós precisamos usar o Teorema de Green para calcular isso:

∮ C   F . d r = ∬ A   ∂ F 2 ∂ x - ∂ F 1 ∂ y d x d y

Então, podemos dizer que a integral de linha sobre a borda dessa região A é igual a essa integral dupla sobre A . Sendo C , é claro, orientada no sentido anti-horário (positivo).

E a condição que temos que atender é, na verdade:

∂ F 2 ∂ x - ∂ F 1 ∂ y = 1

Então, tudo o que precisamos é de um campo F que satisfaça essa condição. Vamos escolher um fácil né? Pode ser:

F x , y = 0 , x