Teorema de Green
Teoria
Fala, aí! Hoje é seu dia de sorte, pois você acaba de encontrar o Responde Aí, a sua salvação para aprender de forma mais clara, descontraída e direto ao ponto.
Hoje nós estamos aqui para falar sobre o Teorema de Green. Esse teorema é muito importante no cálculo multivariável, então se você cursa engenharia, física, ciência da computação e/ou vários outros cursos de exatas, confere essa página até o final, pois eu garanto que você irá aprender com o nosso conteúdo.
O Teorema de Green é uma ferramenta utilizada para calcular integrais de linha que não são possíveis de serem calculadas pela definição ou que até dão para serem calculadas pela definição, mas daria um trabalho enorme hahaha.
📢 ALERTA: Nota que o Teorema de Green está relacionado com integrais de linha, então é bem importante que a definição de integrais de linha esteja bem clara na sua cabecinha rsrs. Caso você ainda precise lembrar esse conceito, não se preocupe, dá uma pausa na leitura dessa página e vai pra esse assunto aqui: Integrais de Linha . Lá tem vários tópicos, nos quais a gente explica em detalhes as integrais de linha e seus cálculos 😉.
A fórmula do teorema de Green é a seguinte:
Parece meio complicado, não é? Mas, calma, sem desespero, vamos ver detalhadamente isso aí.
Vamos ver com um exemplo que fica mais fácil, beleza?
Considera essa integral de linha aqui:
Onde o nosso
Vamos resolver essa integral de linha utilizando o teorema de Green. A primeira coisa que precisamos lembrar é que a integral de linha TEM QUE ser sobre uma CURVA FECHADA, para que a gente possa aplicar o teorema de Green.
Como nós temos uma integral de linha sobre uma curva fechada, podemos aplicar o teorema. Para isso temos que montar a integral dupla que aparece na fórmula.
A primeira coisa que precisamos descobrir é quem vai ser esse
No nosso exemplo, nós temos que a integral de linha é sobre uma circunferência de raio

Beleza, agora sabemos quem é o nosso
Mas, aqui temos uma observação muito muito importante: quando vamos resolver uma integral de linha levamos em consideração a orientação da curva, então para aplicarmos o teorema de Green também precisaremos levar em consideração a orientação.
Para o teorema, devemos garantir que a curva
Imagine que você está caminhando sob a curva

Quando você caminha nesse sentido, você ver o domínio
Beleza, mas a nossa curva está no sentido anti-horário para podermos aplicar o teorema? Bom, a gente não especificou nada no exemplo, não é? Então vamos considerar que ela está orientada positivamente já. Caso isso aconteça na sua prova, é necessário que você escreva bem claro, que está considerando a orientação positiva da curva, combinado?
"Mas, e se a questão me falar que a curva está orientada no sentido horário? O que eu faço?" É simples, nesse caso, você vai calcular a integral dupla considerando que a curva está no sentido anti-horário, ou seja, orientada positivamente, e ao final você va multiplicar o resultado por
Agora que definimos o domínio de integração vamos continuar nosso exemplo e ver quem será o integrando da nossa integral.
Pelo teorema de Green o integrando da integral dupla é:
Quem é
Agora podemos calcular as derivadas parciais:
Assim, o nosso integrando será:
Agora podemos escrever o teorema de Green:
Pelo teorema, para calcularmos a integral de linha basta calcularmos essa integral dupla da direita, que nesse caso é bem simples:
A área de
E pelo teorema de Green, esse é o resultado da nosso integral de linha:
Prontinho!
Viu como é tranquilo aplicar o teorema de Green e como ele facilita demais a vida? Imagina se tivéssemos que calcular essa integral de linha pela definição?? 😱 hahaha
Pra gente fechar nosso papo de hoje, eu vou deixar aqui um resuminho esperto do passo a passo para aplicar o teorema de Green:
PASSO 1: Montar o problema, verificando as condições de aplicação do teorema
é uma curva fechada; está orientada positivamente;- As função
e estão bem definidas em toda a região .
PASSO 2: Achar a região de integração
PASSO 3: Calcular
PASSO 4: Montar a integral dupla e calcular
Finalizamos!! 😉
Exercícios Resolvidos
Exercício Resolvido #1
CEFET - Cálculo Vetorial - Lista 2 Thomé - 4
Utilize o Teorema de Green para calcular a integral de linha
Passo 1
Vamos esboçar a região para entender melhor o problema. Temos uma reta
Para podermos aplicar o Teorema de Green, orientamos positivamente a curva.
Passo 2
Agora vamos calcular
Temos
Passo 3
Agora vamos montar a integral dupla, utilizando o Teorema de Green:
Onde
Nossa integral passa a ser então:
Passo 4
Começaremos integrando em relação a
Passo 5
Agora em relação a
Resposta
Exercício Resolvido #2
UFRJ - Cálculo 3 - P1 2012.2 - 4
Calcule a integral de linha do campo vetorial
Passo 1
Então, galerinha, aqui nós temos uma integral de linha para ser resolvida. Porém se fossemos parametrizar essa curva, teríamos que separar em 4 curvas e parametrizar individualmente. E isso iria gerar muito trabalho. Além disso, tem aquele termo
Por isso vamos resolver essa questão aplicando o teorema de Green, pois ele vai transformar essa integral de linha em uma integral dupla, mais simples de ser resolvida. O teorema nos diz:
Mas devemos lembrar que a curva deve ser orientada positivamente, que não é o que acontece no enunciado, já que temos
Onde, pelo enunciando, temos que
Separando em termos de
Então agora, é achar essas derivadas parciais e resolver essa integral dupla. Lembrando que os limites de integração serão dados pela região
Passo 2
A gente já sabe quem é
Passo 3
Aplicando o teorema de Green, temos:
Passo 4
Agora temos que achar nossos limites de integração. Porém parece complicado descrever a região
A região
Repara que temos um padrão! Todas são parábolas que podemos representar dessa forma
Esse padrão nos sugere qual mudança de variável irá nos ajudar na resolução. Deste movo vamos chamar:
Passo 5
Agora temos que encontrar os intervalos de integração em
Ou seja,
Passo 6
Galerinha, lembrando que sempre que fizermos uma mudança de variável, precisaremos calcular o Jacobiano!
Neste, é vamos achar o Jacobiano da transformação inversa para facilitar nosso cálculo e depois inverter o resultado. Ele é dado por:
Invertendo o resultado, temos
Passo 7
Substituindo os valores que encontramos na integral, temos:
Passo 8
Integrando em relação a
Passo 9
Agora em relação a
Resposta
Exercício Resolvido #3
Diomara Pinto e Maria Cândida Ferreira Morgado, Cálculo Diferencial e Integral de Funções de Várias Variáveis, 3ª ed. Rio de Janeiro: UFRJ, 2009, pp. 228 ex 6.7
Calcule
onde
orientada no sentido anti-horário.
Passo 1
Vamos fazer um esboço da curva:
Como
Essa curva (a fronteira da região) é formada por
Passo 2
O campo vetorial da questão pode ser escrito como
Vamos agora calcular
Passo 3
Agora podemos montar a integral. Aplicando o teorema de Green, a integral do enunciado pode ser escrita como:
Note que a curva está orientada positivamente!
Passo 4
Como a região
Pelo próprio gráfico, vemos que
Passo 5
Agora podemos calcular a integral. Integrando em relação a
Passo 6
Integramos, então, em relação a
Resposta
Exercício Resolvido #4
George B. Thomas, Cálculo – volume 2, 11ª edição, São Paulo: Pearson Education do Brasil, 2009, pp. 505-23.
Use a fórmula do teorema de Green para encontrar a área da região limitada pela curva:
(Sugestão: Use
Passo 1
O enunciado pede pra usar o teorema de Green para o cálculo de área, então vamos relembrar como que fica isso.
O teorema de Green nos diz que:
E sabemos que o podemos encontrar a área pela integral dupla:
Então, basicamente, o que temos que fazer pra ligar as coisas é:
Os campos mais simples que satisfazem essa condição costumam ser:
Mas deve ter algum motivo pra ele ter sugerido um campo um pouquinho mais complicado, vamos ver porquê!
Passo 2
O enunciado já diz que
Então o que vamos calcular é:
Já temos o campo e a curva, então só falta o vetor tangente, que calculamos fazendo a derivada da nossa parametrização em função de t, dada no enunciado
E agora já temos o que precisamos pra calcularmos nossa integral.
Passo 3
Então, com os campos mais simples teríamos:
O que seria bem complicado de calcular, e você pode tentar fazer com
Vamos calcular então a nossa integral:
O que não é nada absolutamente trivial, mas é mais tranquilo que o que tínhamos tentado com
Integrando isso daí, vamos ficar com:
Resposta
Exercício Resolvido #5
PUC-RJ - Cálculo 3 - P4 2014.1 – 3
Use o Teorema de Green para calcular a área da região plana
Passo 1
A gente viu na teoria que podemos utilizar o teorema de Green para calcularmos a área de uma região se lembrarmos que a área pode ser calculada pela integral dupla:
E nós precisamos usar o Teorema de Green para calcular isso:
Então, podemos dizer que a integral de linha sobre a borda dessa região
E a condição que temos que atender é, na verdade:
Então, tudo o que precisamos é de um campo
Nesse caso