Teorema de Green

Teoria Completa

Fala, aí! Hoje é seu dia de sorte, pois você acaba de encontrar o Responde Aí, a sua salvação para aprender de forma mais clara, descontraída e direto ao ponto.

Hoje nós estamos aqui para falar sobre o Teorema de Green. Esse teorema é muito importante no cálculo multivariável, então se você cursa engenharia, física, ciência da computação e/ou vários outros cursos de exatas, confere essa página até o final, pois eu garanto que você irá aprender com o nosso conteúdo.

O Teorema de Green é uma ferramenta utilizada para calcular integrais de linha que não são possíveis de serem calculadas pela definição ou que até dão para serem calculadas pela definição, mas daria um trabalho enorme hahaha.

📢 ALERTA: Nota que o Teorema de Green está relacionado com integrais de linha, então é bem importante que a definição de integrais de linha esteja bem clara na sua cabecinha rsrs. Caso você ainda precise lembrar esse conceito, não se preocupe, dá uma pausa na leitura dessa página e vai pra esse assunto aqui: Integrais de Linha . Lá tem vários tópicos, nos quais a gente explica em detalhes as integrais de linha e seus cálculos 😉.

A fórmula do teorema de Green é a seguinte:

$$\oint _{∂D} F_1~dx+F_2~dy=\iint_D (\frac{∂F_2}{∂x}-\frac{∂F_1}{∂y})dx~dy$$

Parece meio complicado, não é? Mas, calma, sem desespero, vamos ver detalhadamente isso aí.

Vamos ver com um exemplo que fica mais fácil, beleza?

Considera essa integral de linha aqui:

$$\oint _{∂D} (3y-e^{sen(X)})~dx+(7x+\sqrt{y^4+1})~dy$$

Onde o nosso $∂D$, que é a curva sobre a qual a integral de liha será feita, é uma circunferência dada por: $x^2+y^2=9$.

Vamos resolver essa integral de linha utilizando o teorema de Green. A primeira coisa que precisamos lembrar é que a integral de linha TEM QUE ser sobre uma CURVA FECHADA, para que a gente possa aplicar o teorema de Green.

Como nós temos uma integral de linha sobre uma curva fechada, podemos aplicar o teorema. Para isso temos que montar a integral dupla que aparece na fórmula.

A primeira coisa que precisamos descobrir é quem vai ser esse $D$ que aparece na integral dupla, ou seja, quem vai ser o domínio de integração da integral dupla. Esse domínio de integração, será a região que está sendo delimitada pela a curva fechada na integral de linha.

No nosso exemplo, nós temos que a integral de linha é sobre uma circunferência de raio $3$, então o domínio de integração, $D$, da integral dupla será a região que está dentro dessa circunferência, como mostra a figura:

Beleza, agora sabemos quem é o nosso $D$, é a região tal que $x^2+y^2\leq9$.

Mas, aqui temos uma observação muito muito importante: quando vamos resolver uma integral de linha levamos em consideração a orientação da curva, então para aplicarmos o teorema de Green também precisaremos levar em consideração a orientação.

Para o teorema, devemos garantir que a curva $∂D$ está orientada positivamente. Mas o que seria isso?

Imagine que você está caminhando sob a curva $∂D$, no sentido que mostra a figura:

Quando você caminha nesse sentido, você ver o domínio $D$ à sua esquerda, então essa é a orientação positiva da curva $∂D$. Quando estamos falando do plano $xy$, a orientação positiva é sempre o sentido anti-horário.

Beleza, mas a nossa curva está no sentido anti-horário para podermos aplicar o teorema? Bom, a gente não especificou nada no exemplo, não é? Então vamos considerar que ela está orientada positivamente já. Caso isso aconteça na sua prova, é necessário que você escreva bem claro, que está considerando a orientação positiva da curva, combinado?

"Mas, e se a questão me falar que a curva está orientada no sentido horário? O que eu faço?" É simples, nesse caso, você vai calcular a integral dupla considerando que a curva está no sentido anti-horário, ou seja, orientada positivamente, e ao final você va multiplicar o resultado por $-1$. Show de bola?

Agora que definimos o domínio de integração vamos continuar nosso exemplo e ver quem será o integrando da nossa integral.

Pelo teorema de Green o integrando da integral dupla é:

$$\frac{∂F_2}{∂x}-\frac{∂F_1}{∂y}$$

Quem é $F_1$ e $F_2$ no nosso problema? $F_1$ é quem está multiplicado por $dx$ na integral de linha e $F_2$ é quem está multiplicado por $dy$. Então:

$$F_1=3y-e^{sen(X)}$$
$$F_2=7x+\sqrt{y^4+1}$$

Agora podemos calcular as derivadas parciais:

$$\frac{∂F_2}{∂x}=7$$
$$\frac{∂F_1}{∂y}=3$$

Assim, o nosso integrando será:

$$\frac{∂F_2}{∂x}-\frac{∂F_1}{∂y}=7-3=4$$

Agora podemos escrever o teorema de Green:

$$\oint _{∂D} (3y-e^{sen(X)})~dx+(7x+\sqrt{y^4+1})~dy=\iint_D~4~dx~dy$$

Pelo teorema, para calcularmos a integral de linha basta calcularmos essa integral dupla da direita, que nesse caso é bem simples:

$$\iint_D~4~dx~dy=4~~~~ \overbrace{\iint_D~~dx~dy}^{área ~~de~~D}$$

A área de $D$ é a área daquele círculo de raio $3$ delimitado pela curva que vimos lá no início. Então:

$$\iint_D~4~dx~dy=4~ \iint_D~~dx~dy =4~(\pi r^2)=4~\pi~3^2=36~\pi$$

E pelo teorema de Green, esse é o resultado da nosso integral de linha:

$$\oint _{∂D} (3y-e^{sen(X)})~dx+(7x+\sqrt{y^4+1})~dy=\iint_D~4~dx~dy=36 ~\pi$$

Prontinho!

Viu como é tranquilo aplicar o teorema de Green e como ele facilita demais a vida? Imagina se tivéssemos que calcular essa integral de linha pela definição?? 😱 hahaha

Pra gente fechar nosso papo de hoje, eu vou deixar aqui um resuminho esperto do passo a passo para aplicar o teorema de Green:

PASSO 1: Montar o problema, verificando as condições de aplicação do teorema

  • $∂D$ é uma curva fechada;
  • $∂D$ está orientada positivamente;
  • As função $F_1$ e $F_2$ estão bem definidas em toda a região $D$.

PASSO 2: Achar a região de integração $D$

PASSO 3: Calcular $(\frac{∂F_2}{∂x}-\frac{∂F_1}{∂y})$

PASSO 4: Montar a integral dupla e calcular

Finalizamos!! 😉

Exercício Resolvido #1

CEFET - Cálculo Vetorial - Lista 2 Thomé - 4

Utilize o Teorema de Green para calcular a integral de linha ∮ C e x + y 2 d x + e y + x 2 d y , onde C é a fronteira da região entre y = x 2 e y = x , percorrida no sentido anti-horário.

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Passo 1

Vamos esboçar a região para entender melhor o problema. Temos uma reta y = x e uma parábola y = x 2 :

Para podermos aplicar o Teorema de Green, orientamos positivamente a curva.

Passo 2

Agora vamos calcular ∂ F 2 ∂ x - ∂ F 1 ∂ y

Temos

F x , y = e x + y 2 , e y + x 2

∂ F 2 ∂ x - ∂ F 1 ∂ y = ∂ ( e y + x 2 ) ∂ x - ∂ ( e x + y 2 ) ∂ y = 2 x - 2 y

Passo 3

Agora vamos montar a integral dupla, utilizando o Teorema de Green:

∫ C e x + y 2 d x + e y + x 2 d y = 2 ∬ D x - y   d x d y

Onde D é a região limitada pela curva C , que vimos lá em cima.Vamos, então, descrever essa região para reescrever essa integral dupla em iterada. Temos que y varia entre y = x e a parábola y = x 2 e 0 ≤ x ≤ 1 .

Nossa integral passa a ser então:

2 ∫ 0 1 ∫ x 2 x x - y   d y d x

Passo 4

Começaremos integrando em relação a y :

= 2 ∫ 0 1 x y - y 2 2 x 2 x d x =

= 2 ∫ 0 1 x 2 - x 2 2 - x 3 + x 4 2 d x =

= 2 ∫ 0 1 x 2 2 - x 3 + x 4 2 d x =

Passo 5

Agora em relação a x :

= 2 x 3 6 - x 4 4 + x 5 10 0 1

= 2 1 6 - 1 4 + 1 10

= 1 3 - 1 2 + 1 5

= 1 30

Resposta

1 30

Exercício Resolvido #2

UFRJ - Cálculo 3 - P1 2012.2 - 4

Calcule a integral de linha do campo vetorial F x , y = y 3 3 x + e cos ⁡ x ,   sen ⁡ y 3 + 1 ao longo da curva C , sendo C o bordo da região Ω definida pela interseção das seguinte regiões 3 x 2 ≥ π y , 3 x 2 ≤ 2 π y , y 2 ≥ 2 x e y 2 ≤ 4 x . Além disso, assuma que C é orientada no sentido horário.

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Passo 1

Então, galerinha, aqui nós temos uma integral de linha para ser resolvida. Porém se fossemos parametrizar essa curva, teríamos que separar em 4 curvas e parametrizar individualmente. E isso iria gerar muito trabalho. Além disso, tem aquele termo sen ⁡ y 3 que pode gerar coisas nem tão simples de integrar.

Por isso vamos resolver essa questão aplicando o teorema de Green, pois ele vai transformar essa integral de linha em uma integral dupla, mais simples de ser resolvida. O teorema nos diz:

∫ C _   F ⋅ d r = ∬ Ω   ∂ F 2 ∂ x - ∂ F 1 ∂ y d x d y

Onde, pelo enunciando, temos que

F x , y = y 3 3 x + e cos ⁡ x ,   sen ⁡ y 3 + 1

Separando em termos de F 1 e F 2 , temos

F 1 = y 3 3 x + e cos ⁡ x

F 2 = sen ⁡ y 3 + 1

Então agora, é achar essas derivadas parciais e resolver essa integral dupla. Lembrando que os limites de integração serão dados pela região Ω .

Passo 2

A gente já sabe quem é F 1 e F 2 . Então agora vamos agora calcular ∂ F 2 ∂ x - ∂ F 1 ∂ y :

∂ F 2 ∂ x = ∂ ∂ x sen ⁡ y 3 + 1 = 0

∂ F 1 ∂ y = ∂ ∂ y y 3 3 x + e cos ⁡ x = 3 y 2 3 x = y 2 x

∂ F 2 ∂ x - ∂ F 1 ∂ y = - y 2 x

Passo 3

Aplicando o teorema de Green, temos:

∫ C   F ⋅ d r = ∬ Ω   ∂ F 2 ∂ x - ∂ F 1 ∂ y d x d y = - ∬ Ω   y 2 x d x d y

Passo 4

Agora temos que achar nossos limites de integração. Porém parece complicado descrever a região Ω em termos de x e y . Deste modo, vamos fazer uma mudança de variáveis.

A região Ω é definida pela interseção das seguinte regiões:

3 x 2 ≥ π y → x 2 y ≥ π 3

3 x 2 ≤ 2 π y →   x 2 y ≥ 2 π 3

y 2 ≥ 2 x → y 2 x ≥ 2

y 2 ≤ 4 x →   y 2 x ≥ 4

Repara que temos um padrão! Todas são parábolas que podemos representar dessa forma

x 2 y = a l g u m   n ú m e r o

y 2 x = a l g u m   n ú m e r o

Esse padrão nos sugere qual mudança de variável irá nos ajudar na resolução. Deste movo vamos chamar:

y 2 x = u

x 2 y = v

Passo 5

Agora temos que encontrar os intervalos de integração em u e v . Fazendo a substituição de variáveis das equações das parábolas temos:

3 x 2 = π y   → 3 x 2 y = π → 3 v = π   → v = π / 3

3 x 2 = 2 π y   → 3 x 2 y = 2 π → 3 v = 2 π   → v = 2 π / 3

y 2 = 2 x   → y 2 x = 2 → u = 2

y 2 = 4 x   → y 2 x = 4 → u = 4

Ou seja, π / 3 ≤ v ≤ 2 π / 3 e 2 ≤ u ≤ 4 .

Passo 6

Galerinha, lembrando que sempre que fizermos uma mudança de variável, precisaremos calcular o Jacobiano!

Neste, é vamos achar o Jacobiano da transformação inversa para facilitar nosso cálculo e depois inverter o resultado. Ele é dado por:

J * = ∂ ( u ,   v ) ∂ ( x ,   y )

J * = ∂ ( u ,   v ) ∂ ( x ,   y ) = ∂ u ∂ x ∂ u ∂ y ∂ v ∂ x ∂ v ∂ y = - y 2 x 2 2 y x 2 x y - x 2 y 2 = - 3

Invertendo o resultado, temos

J * = 1 J

J = - 1 3

J = 1 3

Passo 7

Substituindo os valores que encontramos na integral, temos:

- ∬ Ω   y 2 x d x d y = - ∫ π / 3 2 π / 3 ∫ 2 4 u × 1 3   d u d v

Passo 8

Integrando em relação a u :

- 1 3   ∫ π / 3 2 π / 3 ∫ 2 4 u   d u d v =

= - 1 3 ∫ π / 3 2 π / 3 u 2 2 u = 2 u = 4 d v =

= - 1 6 ∫ π / 3 2 π / 3 16 - 4 d v =

- 1 6 ∫ π / 3 2 π / 3 12 d v =

= - 2 ∫ π / 3 2 π / 3 d v =

Passo 9

Agora em relação a v :

= - 2 v π / 3 2 π / 3 =

= - 2 2 π 3 - π 3 =

Resposta

- 2 π 3

Exercício Resolvido #3

Diomara Pinto e Maria Cândida Ferreira Morgado, Cálculo Diferencial e Integral de Funções de Várias Variáveis, 3ª ed. Rio de Janeiro: UFRJ, 2009, pp. 228 ex 6.7

Calcule

∮ C   x 2 - y 2 2 d x + x 2 2 + y 4 d y

onde C é a fronteira da região D definida por

D = x , y ∈ R 2 1 ≤ x 2 + y 2 ≤ 4 ,   x ≥ 0 ,   y ≥ 0

orientada no sentido anti-horário.

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Passo 1

Vamos fazer um esboço da curva:

Como x 2 + y 2 é o raio de uma circunferência, a região está limitada por uma circunferência de raio 1 e outra de raio 2 . Como temos x ≥ 0 e y ≥ 0 , tomamos apenas o 1º quadrante.

Essa curva (a fronteira da região) é formada por 4 segmentos, cada um com uma parametrização. Isso ia gerar muito trabalho. Isso é uma dica de que pode ser uma boa usar o Teorema de Green, vamos tentar!

Passo 2

O campo vetorial da questão pode ser escrito como

F = x 2 - y 2 2 , x 2 2 + y 4

Vamos agora calcular ∂ F 2 ∂ x - ∂ F 1 ∂ y :

∂ F 2 ∂ x = ∂ ∂ x x 2 2 + y 4 = x

∂ F 1 ∂ y = ∂ ∂ y x 2 - y 2 2 = - y

∂ F 2 ∂ x - ∂ F 1 ∂ y = x - - y = x + y

Passo 3

Agora podemos montar a integral. Aplicando o teorema de Green, a integral do enunciado pode ser escrita como:

∬ D   x + y d x d y

Note que a curva está orientada positivamente!

Passo 4

Como a região D está compreendida entre dois arcos de circunferência, a melhor saída aqui são as coordenadas polares. Faremos:

x = r cos ⁡ θ

y = r sen ⁡ θ

J = r

Pelo próprio gráfico, vemos que 0 ≤ θ ≤ π / 2 , o que equivale a 1 / 4 de circunferência. Os valores de r variam entre os dois arcos, logo 1 ≤ r ≤ 2 . Temos, então:

∫ 0 π / 2 ∫ 1 2 ( r cos ⁡ θ + r   sen ⁡ θ ) r   d r d θ = ∫ 0 π / 2 ∫ 1 2 cos ⁡ θ + sen ⁡ θ r 2   d r d θ =

Passo 5

Agora podemos calcular a integral. Integrando em relação a r temos:

= ∫ 0 π / 2 cos ⁡ θ + sen ⁡ θ r 3 3 r = 1 r = 2 d θ =

= 7 3 ∫ 0 π / 2 cos ⁡ θ + sen ⁡ θ d θ =

Passo 6

Integramos, então, em relação a θ :

= 7 3 sen ⁡ θ - cos ⁡ θ 0 π / 2 =

= 7 3 1 - 0 - 0 - 1 =

Resposta

14 3

Exercício Resolvido #4

George B. Thomas, Cálculo – volume 2, 11ª edição, São Paulo: Pearson Education do Brasil, 2009, pp. 505-23.

Use a fórmula do teorema de Green para encontrar a área da região limitada pela curva:

C : o   a s t r o i d e   r t = c o s 3 t   i + s e n 3 t   j

0 ≤ t ≤ 2 π

(Sugestão: Use F → = - y 2 , x 2 )

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Passo 1

O enunciado pede pra usar o teorema de Green para o cálculo de área, então vamos relembrar como que fica isso.

O teorema de Green nos diz que:

∮ ∂ D   F 1 d x + F 2 d y     =   ∬ D   ∂ F 2 ∂ x - ∂ F 1 ∂ y d x d y

E sabemos que o podemos encontrar a área pela integral dupla:

A D = ∬ D d x d y

Então, basicamente, o que temos que fazer pra ligar as coisas é:

∬ D   ∂ F 2 ∂ x - ∂ F 1 ∂ y d x d y = ∬ D d x d y → ∂ F 2 ∂ x - ∂ F 1 ∂ y = 1

Os campos mais simples que satisfazem essa condição costumam ser:

F → x , y = 0 , x   o u   F → x , y = - y , 0  

Mas deve ter algum motivo pra ele ter sugerido um campo um pouquinho mais complicado, vamos ver porquê!

Passo 2

O enunciado já diz que C é a fronteira da região que chamamos de D , ou seja, C = ∂ D .

Então o que vamos calcular é:

∬ D d x d y = ∮ ∂ D     F 1 d x + F 2 d y   = ∫ 0 2 π F → x t , y t . σ → ' t   d t

Já temos o campo e a curva, então só falta o vetor tangente, que calculamos fazendo a derivada da nossa parametrização em função de t, dada no enunciado σ → ( t ) :

σ → ' t = d c o s 3 t   d t , d s e n 3 t   d t = - s e n   t   ⋅ 3 c o s 2 t   , c o s   t   ⋅ 3 s e n 2 t  

E agora já temos o que precisamos pra calcularmos nossa integral.

Passo 3

Então, com os campos mais simples teríamos:

∫ 0 2 π 0 , c o s 3 t   . - s e n   t   ⋅ 3   c o s 2 t   , c o s   t   ⋅ 3   s e n 2 t       d t

= ∫ 0 2 π 0 + 3   c o s 4 t   .   s e n 2 t   d t

O que seria bem complicado de calcular, e você pode tentar fazer com - y , 0 , mas eu acredito que vai dar algo tão complicado quanto. Vamos torcer pra o campo sugerido dê algo mais tranquilo...

Vamos calcular então a nossa integral:

∫ 0 2 π F → x t , y t . σ → ' t   d t

∫ 0 2 π - s e n 3 t   2 , c o s 3 t   2 . - s e n   t   ⋅ 3   c o s 2 t   , c o s   t   ⋅ 3   s e n 2 t   d t

= 3 2 ∫ 0 2 π s e n 4 t   c o s 2 t   + ( c o s 4 t )   .   ( s e n 2 t )     d t

= 3 2 ∫ 0 2 π s e n 2 t   c o s 2 t   c o s 2 t   + s e n 2 t     d t

= 3 2 ∫ 0 2 π s e n   t   c o s   t   2 d t

= 3 2 ∫ 0 2 π s e n   2 t   2 2 d t = 3 8 ∫ 0 2 π s e n 2   2 t   d t

O que não é nada absolutamente trivial, mas é mais tranquilo que o que tínhamos tentado com F → = ( 0 , x ) . É só lembrar que que s e n 2 θ   = 1 - c o s   2 θ   2 , que vamos ter:

3 8 ∫ 0 2 π s e n 2   2 t   d t = 3 8 ∫ 0 2 π 1 2 d t - ∫ 0 2 π c o s   4 t   2 d t

Integrando isso daí, vamos ficar com:

= 3 16 t │ 0 2 π - s e n   4 t   4 | 0 2 π = 3 π 8

Resposta

3 π 8

Exercício Resolvido #5

PUC-RJ - Cálculo 3 - P4 2014.1 – 3

Use o Teorema de Green para calcular a área da região plana A do primeiro quadrante delimitada por y = x ,   y = 1 x e y = x 9 .

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Passo 1

A gente viu na teoria que podemos utilizar o teorema de Green para calcularmos a área de uma região se lembrarmos que a área pode ser calculada pela integral dupla:

Á r e a = ∬ A   d x d y

E nós precisamos usar o Teorema de Green para calcular isso:

∮ C   F . d r = ∬ A   ∂ F 2 ∂ x - ∂ F 1 ∂ y d x d y

Então, podemos dizer que a integral de linha sobre a borda dessa região A é igual a essa integral dupla sobre A . Sendo C , é claro, orientada no sentido anti-horário (positivo).

E a condição que temos que atender é, na verdade:

∂ F 2 ∂ x - ∂ F 1 ∂ y = 1

Então, tudo o que precisamos é de um campo F que satisfaça essa condição. Vamos escolher um fácil né? Pode ser:

F x , y = 0 , x

Nesse caso

∂ F 2 ∂ x - ∂ F 1 ∂ y = 1 - 0 = 1

Show! Agora podemos aplicar Green:

∮ C   F . d r = ∬ A   d x d y = Á r e a

Logo, a área que queremos é dada pela integral de linha de F em C .

Passo 2

Vamos começar fazendo um esboço dessa região. Temos a reta y = x (em vermelho) e a reta y = x / 9 , que tem inclinação menor que a primeira (em azul). Temos também a curva 1 / x (em verde):

A região é essa aí em cinza.

Então, a fronteira dessa região, que vai ser nossa curva C tem 3 partes, não é? Vamos precisar calcular 3 integrais de linha.

Vamos chamar de C 1 o segmento vermelho, de C 2 o azul e C 3 o verde. Isso nos dá:

Á r e a = ∫ C 1   F . d r + ∫ C 2   F . d r + ∫ C 3   F . d r

Passo 3

Vamos, agora, parametrizar esses segmentos:

C 1 pertence à reta x = y , portanto;

C 1 = ( x , x )

Para achar o ponto final devemos achar a interseção

y = x y = 1 x → x = 1 x ∴ x = 1

Assim, 0 ≤ x ≤ 1 .

C 2 pertence à reta y = x / 9 , logo:

C 2 = x , x 9

De novo, precisamos determinar a interseção

y = x 9 y = 1 x → x 9 = 1 x ∴ x = 3

Ou seja, 0 ≤ x ≤ 3 .

C 3 pertence a y = 1 / x , o que nos dá:

C 3 = x , 1 x

Com x variando de 3 a 1 .

Passo 4

Agora vamos derivar essas parametrizações:

C 1 ' = ( 1,1 )