Conjugado

Teoria Completa

Usando produtos notáveis

Entendendo bem limite? Mas e esse aí?

lim x → 4 ⁡ x - 2 x - 4 = 4 - 2 4 - 4 = 0 0

Por mais que seja uma indeterminação 0 / 0 , você não vai conseguir resolver simplesmente fatorando. Isso acontece por que temos uma soma ou subtração de raízes quadradas ou cúbicas.

Nesse caso, utilizamos algum dos produtos notáveis para forçar um polinômio a aparecer. O procedimento é simples. No caso do problema:

x - 2 x + 2 = x - 4

O cuidado é que temos que multiplicar esse termo que achamos em cima e embaixo, para não mudar a função:

lim x → 4 ⁡ x - 2 x - 4 x + 2 x + 2 = lim x → 4 ⁡ x - 2 x + 2 x - 4 x + 2 = lim x → 4 ⁡ x - 4 x - 4 x + 2

Simplesmente cortando, a indeterminação vai desaparecer:

= lim x → 4 ⁡ 1 x + 2 = 1 4

Quase sempre você vai usar esse método quando aparece indeterminação com soma/subtração envolvendo raízes.

Indicadores de qual relação usar

A questão agora é definir qual produto notável será usado. A dica é a seguinte:

  • Quando há alguma diferença ou soma em que algum dos termos (ou todos) é uma raiz quadrada numa indeterminação de 0 / 0 ou ∞ - ∞ , use:
  • a - b a + b = a 2 - b 2

  • Quando há alguma diferença ou soma em que algum dos termos (ou todos) é uma raiz cúbica numa indeterminação de 0 / 0 ou ∞ - ∞ , use:

a - b a 2 + a b + b 2 = a 3 - b 3

a + b a 2 - a b + b 2 = a 3 + b 3

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Exercício Resolvido #1

James Stewart, Cálculo Vol. 1, 6ª ed. São Paulo: Cengage Learning, 2010. Exercício 30, seção 2.3, página 96

Resolva o limite:

lim x → - 4 ⁡ x 2 + 9 - 5 x + 4  

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Passo 1

Quando eu jogo o - 4   no nosso amado limite, ele dá ruim:

lim x → - 4 ⁡ x 2 + 9 - 5 x + 4 = ( - 4 ) 2 + 9 - 5 - 4 + 4 = 5 - 5 0 = 0 0

Passo 2

Vamos tentar o seguinte, completar o produto notável conjugado em cima, deve facilitar alguma coisa:

x 2 + 9 - 5 x 2 + 9 + 5 x + 4 x 2 + 9 + 5 = x 2 + 9 - 25 x + 4 x 2 + 9 + 5 = x 2 - 16 x + 4 x 2 + 9 + 5

Passo 3

Rapaz, confere aqui se isso que eu vou dizer procede:

x 2 - 16 = ( x + 4 ) ( x - 4 )

Isso é válido, né? E se eu cortar o   x + 4   em cima e embaixo (lembra que esse era o termo que dava zero quando eu substituía   x = - 4 )?

Passo 4

Vamos ver se melhora:

x 2 - 16 x + 4 x 2 + 9 + 5 = x + 4 x - 4 x + 4 x 2 + 9 + 5 = x - 4 x 2 + 9 + 5

Olha agora que beleza, substituindo não vai zerar no denominador. Pronto, agora é jogar o   x = - 4 , tomar um Toddynho e ser feliz!

lim x → - 4 ⁡ x 2 + 9 - 5 x + 4   = lim x → - 4 ⁡ x - 4 x 2 + 9 + 5   = - 4 - 4 - 4 2 + 9 + 5

= - 8 25 + 5 = - 8 10 = - 4 5

Resposta

lim x → - 4 ⁡ x 2 + 9 - 5 x + 4   = - 4 5

Exercício Resolvido #2

Elaboração Própria

Calcule o limite abaixo:

lim x → 1 ⁡ x 3 - 1 x - 1

Dica: use os produtos notáveis

a 3 - b 3 = ( a - b ) ( a 2 + a b + b 2 )

c 2 - d 2 = ( c + d ) ( c - d )

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Passo 1

Se tentarmos substituir o valor para o qual x tende, veremos que chegamos a uma indeterminação:

lim x → 1 ⁡ x 3 - 1 x - 1 ⟹ 0 0

Passo 2

Portanto, vamos aplicar o primeiro produto notável sugerido no numerador, que tem raízes cúbicas. Faremos a = x 3 e b = 1 :

a - b a 2 + a b + b 2 = a 3 - b 3

x 3 - 1 x 3 2 + x 3 + 1 2 = x 3 3 - 1 3 = x - 1

Ou seja, devemos multiplicar em cima e embaixo o conjugado x 3 2 + x 3 + 1 2 para gerar x - 1 em cima.

Passo 3

Agora, para o segundo produto notável, trabalhando quadrados, aplicamos no caso do denominador do limite, que tem raiz quadrada:

c + d c - d = c 2 - d 2

Para o denominador, fazemos c = x e d = 1 :

x + 1 x - 1 = x 2 - 1 2 = x - 1

Devemos, portanto, multiplicar em cima e embaixo por x + 1 , visando obter x - 1 no denominador.

Passo 4

Substituindo na expressão:

lim x → 1 ⁡ x 3 - 1 x - 1 = lim x → 1 ⁡ x 3 - 1 x - 1 x 3 2 + x 3 + 1 2 x 3 2 + x 3 + 1 2 x + 1 x + 1

= lim x → 1 ⁡ x - 1 x - 1 x + 1 x 3 2 + x 3 + 1 2

= lim x → 1 ⁡ x + 1 x 3 2 + x 3 + 1 2 = 1 + 1 1 3 2 + 1 3 + 1 2

= 1 + 1 1 + 1 + 1 = 2 3

Resposta

lim x → 1 ⁡ x 3 - 1 x - 1 = 2 3

Exercício Resolvido #3

Elaboração Própria

Resolva o limite abaixo.

lim x → 3 + ⁡ 1 x - 3 - 1 x - 3

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Passo 1

Essa questão se destaca um pouco das outras desse capítulo por pedir que a gente faça uma análise lateral do limite também.

Nela, tudo que temos que fazer é completar o conjugado num termo e analisar o limite lateral do conjunto, quando tiverem o mesmo denominador.

Enfim, um passo de cada vez, começamos substituindo o limite:

lim x → 3 + ⁡ 1 x - 3 - 1 x - 3 = 1 3 - 3 - 1 3 - 3 = 1 0 - 1 0

= ± ∞ - ± ∞

Não sabemos se vão para + ∞ ou - ∞ enquanto não fizermos a análise lateral.

Passo 2

Vou começar completando o quadrado ali do primeiro quociente, para que eles tenham quocientes iguais. Repara que tenho uma diferença de raízes quadradas x - 3 e depois uma diferença dos quadrados dessas raízes x - 3 . Me faz lembrar essa propriedade:

a - b a + b = a 2 - b 2

x - 3 x + 3 = x - 3

lim x → 3 + ⁡ x + 3 x - 3 x + 3 - 1 x - 3 = lim x → 3 + ⁡ x + 3 x - 3 - 1 x - 3

= lim x → 3 + ⁡ x + 3 - 1 x - 3 = lim x → 3 + ⁡ x + 3 - 1 lim x → 3 + ⁡ 1 x - 3

Passo 3

O primeiro cara sai de primeira

lim x → 3 + ⁡ x + 3 - 1 = 3 + 3 - 1 = 2 3 - 1

Analisamos lateralmente o segundo, que gera 1 0 ao substituir o limite. Como x - 3 é maior que 0 para x > 3 , vemos que se aproximamos o limite para x → 3 + trabalharemos com valores positivos e, portanto, o limite explodirá para + ∞ :

lim x → 3 + ⁡ 1 x - 3 = + ∞

Logo,

lim x → 3 + ⁡ x + 3 - 1 lim x → 3 + ⁡ 1 x - 3 = 2 3 - 1 ∞

= ∞

Resposta

lim x → 3 + ⁡ 1 x - 3 - 1 x - 3 = ∞

Exercício Resolvido #4

USP - Cálculo 1 - P1 2011 - 1 c

Calcule o limite ou explique porque não existe.

lim x → - ∞ ⁡ x 2 + x 3 + 1 3 - x 2 - 2 x

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Passo 1

Olha, se substituirmos esse limite caímos numa indeterminação:

lim x → - ∞ ⁡ x 2 + x 3 + 1 3 - x 2 - 2 x = ∞ - ∞

= ∞ - ∞

Passo 2

Agora devemos pensar numa maneira de resolver algebricamente. Uma boa ideia seria eliminar as raízes que estão em subtração. Como o limite envolve raízes quadradas, podemos usar o seguinte produto notável, envolvendo quadrados:

a - b a + b = a 2 - b 2

Com a = x 2 + x 3 + 1 3 e b = x 2 - 2 x . Assim, fica multiplicado em cima e embaixo o termo ( a + b ) :

lim x → - ∞ ⁡ x 2 + x 3 + 1 3 - x 2 - 2 x x 2 + x 3 + 1 3 + x 2 - 2 x x 2 + x 3 + 1 3 + x 2 - 2 x

= lim x → - ∞ ⁡ x 2 + x 3 + 1 3 - x 2 - 2 x x 2 + x 3 + 1 3 + x 2 - 2 x

= lim x → - ∞ ⁡ x 3 + 1 3 + 2 x x 2 + x 3 + 1 3 + x 2 - 2 x

Passo 3

Agora, talvez esteja estranho de visualizar, mas o grau do polinômio de cima é 1 e o de baixo também. Nota que os x 2 estão em raízes quadradas, então o grau é 1 , coisa similar acontece nos x 3 dentro de raízes cúbicas. Enfim, vamos dividir tudo por x em cima e embaixo e depois sabemos que todos os termos divididos por qualquer potência de x vão à zero e sobrarão só constantes:

lim x → - ∞ ⁡ x 3 + 1 3 + 2 x x 2 + x 3 + 1 3 + x 2 - 2 x = lim x → - ∞ ⁡ x 1 + 1 x 3 3 + 2 x 2 1 + 1 x 3 + 1 x 6 3 + 1 - 2 x

Fica atento quando você tira um x 2 de dentro de uma raiz, não vai ficar x , vai ficar x , isso vem da própria definição de raiz quadrada.

lim x → - ∞ ⁡ x 1 + 1 x 3 3 + 2 x 1 + 1 x 3 + 1 x 6 3 + 1 - 2 x

Passo 4

O módulo de x pode ser aberto por:

x = - x ,     x < 0 x ,     x ≥ 0

Como ele quer x → - ∞ , vamos ter

x = - x

E nosso limite vai ficar

lim x → - ∞ ⁡ x 1 + 1 x 3 3 + 2 - x 1 + 1 x 3 + 1 x 6 3 + 1 - 2 x = lim x → - ∞ ⁡ - 1 + 1 x 3 3 + 2 1 + 1 x 3 + 1 x 6 3 + 1 - 2 x

= - 1 + 0 3 + 2 1 + 0 + 0 3 + 1 - 0

= - 1 + 2 1 + 1

= - 3 2

Resposta

lim x → - ∞ ⁡ x 2 + x 3 + 1 3 - x 2 - 2 x = - 3 2

Exercício Resolvido #5

Elaboração Própria

Calcule o limite abaixo:

lim x → 1 ⁡ x - 1 x 3 + 8 - 3

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Passo 1

Se tentarmos substituir o valor para o qual x tende, veremos que chegamos a uma indeterminação:

lim x → 1 ⁡ x - 1 x 3 + 8 - 3 ⟹ 0 0

Puts, então vamos precisar manipular essa função ai pra podermos sair com a indeterminação.

Passo 2

Uma primeira coisa que a gente pode tentar fazer é multiplicar pelo conjugado, beleza? Dessa forma a gente some com aquela raíz e o resultado pode acabar nos ajudando. Então partiu ver no que que dá:

x - 1 x 3 + 8 - 3 x 3 + 8 + 3 x 3 + 8 + 3 = x - 1 x 3 + 8 + 3 x 3 + 8 - 9 = x - 1 x 3 + 8 + 3 x 3 - 1

Se substituirmos, ainda temos indeterminação:

lim x → 1 ⁡ x - 1 x 3 + 8 + 3 x 3 - 1 ⟹ 0 0

Ou seja, não paramos por aqui ainda, ainda vamos ter que manipular um pouquinho

Passo 3

Toda vez que virmos uma diferença com um x 3 a gente se pergunta: será que algum produto notável me ajuda? Nesse caso, a resposta é sim! Saca só o seguinte produto notável

a - b a 2 + a b + b 2 = a 3 - b 3

Faremos a = x e b = 1 :

x - 1 x 2 + x + 1 = x 3 - 1

Aí substituímos:

x - 1 x 3 + 8 + 3 x 3 - 1 = x - 1 x 3 + 8 + 3 x - 1 x 2 + x + 1  

E cortamos:

x 3 + 8 + 3 x 2 + x + 1

Se fizermos o limite agora, não vamos ter mais indeterminações! Dá uma olhada:

lim x → 1 ⁡ x 3 + 8 + 3 x 2 + x + 1 = 1 3 + 8 + 3 1 2 + 1 + 1 = 9 + 3 3 = 3 + 3 3 = 2

Resposta

lim x → 1 ⁡ x - 1 x 3 + 8 - 3 = 2

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