Número Conjugado

Teoria Completa

Fala aí, e bem vindo ao RespondeAí! Hoje vamos te ensinar o que é o Número Conjugado!

Definição de Conjugado

Quando falamos de números conjugados, falamos de números irracionais ou de números imaginários. Você lembra bem quem são esses? Vamos ver uns exemplos:

Irracionais:

$$\sqrt3, \sqrt[3]{17},7+\sqrt{5}$$

Imaginários:

$$i, 1+i,2-2i$$

Quando esses números tem mais de uma parcela, como em $x=7+\sqrt5$, $y=1+i$ e $z=2-2i$, podemos dizer que eles possuem conjugados, que são números idênticos mas com o sinal oposto na parte racional ou imaginária. Os conjugados desses exemplos são:

$$\bar{x}=7-\sqrt5$$
$$\bar{y}=1-i$$
$$\bar{z}=2+2i$$

Podemos fazer contas entre um número e seu conjugado para eliminar a parte irracional ou a parte imaginária e usamos essa estratégia algébrica frequentemente quando calculamos Limites veja aqui em baixo!

Vamos fazer um exemplo, como você calcularia o seguinte limite:

$$\lim_{x\rightarrow4} \frac{\sqrt{x}-2}{x-4}$$

Substituindo direto o valor do limite encontramos a indeterminação $\frac{0}{0}$, então para sair dela vamos usar o que vimos a cima e multiplicar nossa expressão pelo conjugado do nosso número irracional do numerador, da seguinte forma:

$$\frac{\sqrt{x}-2}{x-4}× \frac{\sqrt{x}-2}{\sqrt{x}-2}$$

Dessa forma ficamos com o seguinte limite:

$$\lim_{x\rightarrow4} \frac{\sqrt{x}-2}{x-4}×\frac{\sqrt{x}-2}{\sqrt{x}-2}=\lim_{x\rightarrow4} \frac{(x-4)}{(x-4)(\sqrt{x}+2)}$$

Cortando os fatores iguais, sumimos com a indeterminação:

$$\lim_{x\rightarrow4} \frac{1}{\sqrt{x}+2}=\frac{1}{4}$$

Aqui em baixo você confere um exercício feito pelos nossos Experts, pensado para você mandar bem na sua prova!

Exercício

Entenda como eliminar uma indeterminação em um limite utilizando-se de racionalização, nesse vídeo do tópico de Conjugado do nosso site:

Calcule o limite abaixo:

$$\lim_{x\rightarrow1}\frac{\sqrt[3]x-1}{\sqrt{x}-1}$$

Expandir

Exercício Resolvido #1

James Stewart, Cálculo Vol. 1, 6ª ed. São Paulo: Cengage Learning, 2010. Exercício 30, seção 2.3, página 96

Resolva o limite:

lim x → - 4 ⁡ x 2 + 9 - 5 x + 4  

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Passo 1

Quando eu jogo o - 4   no nosso amado limite, ele dá ruim:

lim x → - 4 ⁡ x 2 + 9 - 5 x + 4 = ( - 4 ) 2 + 9 - 5 - 4 + 4 = 5 - 5 0 = 0 0

Passo 2

Vamos tentar o seguinte, completar o produto notável conjugado em cima, deve facilitar alguma coisa:

x 2 + 9 - 5 x 2 + 9 + 5 x + 4 x 2 + 9 + 5 = x 2 + 9 - 25 x + 4 x 2 + 9 + 5 = x 2 - 16 x + 4 x 2 + 9 + 5

Passo 3

Rapaz, confere aqui se isso que eu vou dizer procede:

x 2 - 16 = ( x + 4 ) ( x - 4 )

Isso é válido, né? E se eu cortar o   x + 4   em cima e embaixo (lembra que esse era o termo que dava zero quando eu substituía   x = - 4 )?

Passo 4

Vamos ver se melhora:

x 2 - 16 x + 4 x 2 + 9 + 5 = x + 4 x - 4 x + 4 x 2 + 9 + 5 = x - 4 x 2 + 9 + 5

Olha agora que beleza, substituindo não vai zerar no denominador. Pronto, agora é jogar o   x = - 4 , tomar um Toddynho e ser feliz!

lim x → - 4 ⁡ x 2 + 9 - 5 x + 4   = lim x → - 4 ⁡ x - 4 x 2 + 9 + 5   = - 4 - 4 - 4 2 + 9 + 5

= - 8 25 + 5 = - 8 10 = - 4 5

Resposta

lim x → - 4 ⁡ x 2 + 9 - 5 x + 4   = - 4 5

Exercício Resolvido #2

Elaboração Própria

Calcule o limite abaixo:

lim x → 1 ⁡ x 3 - 1 x - 1

Dica: use os produtos notáveis

a 3 - b 3 = ( a - b ) ( a 2 + a b + b 2 )

c 2 - d 2 = ( c + d ) ( c - d )

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Passo 1

Se tentarmos substituir o valor para o qual x tende, veremos que chegamos a uma indeterminação:

lim x → 1 ⁡ x 3 - 1 x - 1 ⟹ 0 0

Passo 2

Portanto, vamos aplicar o primeiro produto notável sugerido no numerador, que tem raízes cúbicas. Faremos a = x 3 e b = 1 :

a - b a 2 + a b + b 2 = a 3 - b 3

x 3 - 1 x 3 2 + x 3 + 1 2 = x 3 3 - 1 3 = x - 1

Ou seja, devemos multiplicar em cima e embaixo o conjugado x 3 2 + x 3 + 1 2 para gerar x - 1 em cima.

Passo 3

Agora, para o segundo produto notável, trabalhando quadrados, aplicamos no caso do denominador do limite, que tem raiz quadrada:

c + d c - d = c 2 - d 2

Para o denominador, fazemos c = x e d = 1 :

x + 1 x - 1 = x 2 - 1 2 = x - 1

Devemos, portanto, multiplicar em cima e embaixo por x + 1 , visando obter x - 1 no denominador.

Passo 4

Substituindo na expressão:

lim x → 1 ⁡ x 3 - 1 x - 1 = lim x → 1 ⁡ x 3 - 1 x - 1 x 3 2 + x 3 + 1 2 x 3 2 + x 3 + 1 2 x + 1 x + 1

= lim x → 1 ⁡ x - 1 x - 1 x + 1 x 3 2 + x 3 + 1 2

= lim x → 1 ⁡ x + 1 x 3 2 + x 3 + 1 2 = 1 + 1 1 3 2 + 1 3 + 1 2

= 1 + 1 1 + 1 + 1 = 2 3

Resposta

lim x → 1 ⁡ x 3 - 1 x - 1 = 2 3

Exercício Resolvido #3

Elaboração Própria

Resolva o limite abaixo.

lim x → 3 + ⁡ 1 x - 3 - 1 x - 3

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Passo 1

Essa questão se destaca um pouco das outras desse capítulo por pedir que a gente faça uma análise lateral do limite também.

Nela, tudo que temos que fazer é completar o conjugado num termo e analisar o limite lateral do conjunto, quando tiverem o mesmo denominador.

Enfim, um passo de cada vez, começamos substituindo o limite:

lim x → 3 + ⁡ 1 x - 3 - 1 x - 3 = 1 3 - 3 - 1 3 - 3 = 1 0 - 1 0

= ± ∞ - ± ∞

Não sabemos se vão para + ∞ ou - ∞ enquanto não fizermos a análise lateral.

Passo 2

Vou começar completando o quadrado ali do primeiro quociente, para que eles tenham quocientes iguais. Repara que tenho uma diferença de raízes quadradas x - 3 e depois uma diferença dos quadrados dessas raízes x - 3 . Me faz lembrar essa propriedade:

a - b a + b = a 2 - b 2

x - 3 x + 3 = x - 3

lim x → 3 + ⁡ x + 3 x - 3 x + 3 - 1 x - 3 = lim x → 3 + ⁡ x + 3 x - 3 - 1 x - 3

= lim x → 3 + ⁡ x + 3 - 1 x - 3 = lim x → 3 + ⁡ x + 3 - 1 lim x → 3 + ⁡ 1 x - 3

Passo 3

O primeiro cara sai de primeira

lim x → 3 + ⁡ x + 3 - 1 = 3 + 3 - 1 = 2 3 - 1

Analisamos lateralmente o segundo, que gera 1 0 ao substituir o limite. Como x - 3 é maior que 0 para x > 3 , vemos que se aproximamos o limite para x → 3 + trabalharemos com valores positivos e, portanto, o limite explodirá para + ∞ :

lim x → 3 + ⁡ 1 x - 3 = + ∞

Logo,

lim x → 3 + ⁡ x + 3 - 1 lim x → 3 + ⁡ 1 x - 3 = 2 3 - 1 ∞

= ∞

Resposta

lim x → 3 + ⁡ 1 x - 3 - 1 x - 3 = ∞

Exercício Resolvido #4

USP - Cálculo 1 - P1 2011 - 1 c

Calcule o limite ou explique porque não existe.

lim x → - ∞ ⁡ x 2 + x 3 + 1 3 - x 2 - 2 x

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Passo 1

Olha, se substituirmos esse limite caímos numa indeterminação, ou seja, não temos sabermos para onde o limite vai:

lim x → - ∞ ⁡ x 2 + x 3 + 1 3 - x 2 - 2 x = ∞ - ∞

= ∞ - ∞

Agora precisamos determinar esse limite!

Passo 2

Agora devemos pensar numa maneira de resolver algebricamente. Uma boa ideia seria eliminar as raízes que estão em subtração. Como o limite envolve raízes quadradas, podemos usar o seguinte produto notável, envolvendo quadrados:

a - b a + b = a 2 - b 2

Com a = x 2 + x 3 + 1 3 e b = x 2 - 2 x .

Assim, fica multiplicado em cima e embaixo o termo ( a + b ) :

lim x → - ∞ ⁡ x 2 + x 3 + 1 3 - x 2 - 2 x x 2 + x 3 + 1 3 + x 2 - 2 x x 2 + x 3 + 1 3 + x 2 - 2 x

= lim x → - ∞ ⁡ x 2 + x 3 + 1 3 - x 2 - 2 x x 2 + x 3 + 1 3 + x 2 - 2 x

= lim x → - ∞ ⁡ x 3 + 1 3 + 2 x x 2 + x 3 + 1 3 + x 2 - 2 x

Agora vamos resolver esse limite!

Passo 3

Repara que temos um polinômio em cima e um embaixo. Como o x → - ∞ , podemos resolver o limite analisando o grau de cada polinômio. Para isso, vamos olhar o maior grau em cima e embaixo e colocar em evidência. Reescrevendo ficamos assim,

lim x → - ∞ ⁡ x 3 + 1 3 + 2 x x 2 + x 3 + 1 3 + x 2 - 2 x = lim x → - ∞ ⁡ x 1 + 1 x 3 3 + 2 x 2 1 + 1 x 3 + 1 x 6 3 + 1 - 2 x

Fica atento quando você tirar um x 2 de dentro de uma raiz (de baixo), não vai ficar x , vai ficar x , isso vem da própria definição de raiz quadrada.

lim x → - ∞ ⁡ x 1 + 1 x 3 3 + 2 x 1 + 1 x 3 + 1 x 6 3 + 1 - 2 x

Passo 4

O módulo de x pode ser aberto por:

x = - x ,     x < 0 x ,     x ≥ 0

Como ele quer x → - ∞ , vamos ter

x = - x

E nosso limite vai ficar

lim x → - ∞ ⁡ x 1 + 1 x 3 3 + 2 - x 1 + 1 x 3 + 1 x 6 3 + 1 - 2 x = lim x → - ∞ ⁡ - 1 + 1 x 3 3 + 2 1 + 1 x 3 + 1 x 6 3 + 1 - 2 x

= - 1 + 0 3 + 2 1 + 0 + 0 3 + 1 - 0

= - 1 + 2 1 + 1

= - 3 2

Resposta

lim x → - ∞ ⁡ x 2 + x 3 + 1 3 - x 2 - 2 x = - 3 2

Exercício Resolvido #5

Elaboração Própria

Calcule o limite abaixo:

lim x → 1 ⁡ x - 1 x 3 + 8 - 3

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Passo 1

Se tentarmos substituir o valor para o qual x tende, veremos que chegamos a uma indeterminação:

lim x → 1 ⁡ x - 1 x 3 + 8 - 3 ⟹ 0 0

Puts, então vamos precisar manipular essa função ai pra podermos sair com a indeterminação.

Passo 2

Uma primeira coisa que a gente pode tentar fazer é multiplicar pelo conjugado, beleza? Dessa forma a gente some com aquela raíz e o resultado pode acabar nos ajudando. Então partiu ver no que que dá:

x - 1 x 3 + 8 - 3 x 3 + 8 + 3 x 3 + 8 + 3 = x - 1 x 3 + 8 + 3 x 3 + 8 - 9 = x - 1 x 3 + 8 + 3 x 3 - 1

Se substituirmos, ainda temos indeterminação:

lim x → 1 ⁡ x - 1 x 3 + 8 + 3 x 3 - 1 ⟹ 0 0

Ou seja, não paramos por aqui ainda, ainda vamos ter que manipular um pouquinho

Passo 3

Toda vez que virmos uma diferença com um x 3 a gente se pergunta: será que algum produto notável me ajuda? Nesse caso, a resposta é sim! Saca só o seguinte produto notável

a - b a 2 + a b + b 2 = a 3 - b 3

Faremos a = x e b = 1 :

x - 1 x 2 + x + 1 = x 3 - 1

Aí substituímos:

x - 1 x 3 + 8 + 3 x 3 - 1 = x - 1 x 3 + 8 + 3 x - 1 x 2 + x + 1  

E cortamos:

x 3 + 8 + 3 x 2 + x + 1

Se fizermos o limite agora, não vamos ter mais indeterminações! Dá uma olhada:

lim x → 1 ⁡ x 3 + 8 + 3 x 2 + x + 1 = 1 3 + 8 + 3 1 2 + 1 + 1 = 9 + 3 3 = 3 + 3 3 = 2

Resposta

lim x → 1 ⁡ x - 1 x 3 + 8 - 3 = 2

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