Enunciado

  1. Estime o valor de
  2. lim x → 0 ⁡ x 1 + 3 x - 1

    fazendo o gráfico da função f x = x 1 + 3 x - 1

  3. Faça uma tabela de valores de f ( x ) para x próximo de 0 e estime qual será o valor do limite.
  4. Use as propriedades dos Limites para encontrar o valo exato do limite.

Passo 1

Eaee, belezinha?? Bom... queremos estimar o valor do seguinte limite fazendo o gráfico de f x = x 1 + 3 x - 1 :

lim x → 0 ⁡ x 1 + 3 x - 1

Para isso, deveremos plotar f x e analisar o que acontece quando x tende a zero.

O enunciado também nos pede para fazer uma tabela de valores de f ( x ) para x próximo de 0 e estimar qual será o valor do limite.

Também deveremos utilizar as propriedades dos limites para encontrar o valo exato do limite, pois não podemos apenas faze x = 0 porque geraria uma indeterminação, veja:

lim x → 0 ⁡ x 1 + 3 x - 1 = lim x → 0 ⁡ 0 1 + 3 * 0 - 1 ∴

lim x → 0 ⁡ x 1 + 3 x - 1 = 0 0

Assim, a gente vai fazer algumas manipulações algébricas!! 😉

Passo 2

  1. Vamos analisar o plot do gráfico da função:
  2. Vamos observar o que acontece quando x se aproxima do valor 0 , o valor pedido no limite: pela direita podemos ver que a função vai se aproximando mais e mais do valor 2 3 , e o mesmo ocorre pela esquerda.

    Então podemos ver que o valor da função quando x está se aproximando mais e mais de 0 , tando pela direita quanto pela esquerda, é 2 3 .

    Passo 3

  3. Para estimar o limite através de uma tabela de valores de f ( x ) vamos atribuir valores de x bem próximos a 0 , e observar para qual valor eles convergem, vamos lá:
  4. Pela tabela podemos observar que o valor do limite parece se aproximar de 2 3 , viu, não é complicado! :)

    Passo 4

  5. Agora vamos encontrar o valor exato do limite através das propriedades:

lim x → 0 ⁡ x 1 + 3 x - 1

Vamos fazer uma tentativa multiplicando tanto o numenador quanto o denominador pelo conjugado do denominador da expressão, 1 + 3 x - 1 , e resolver a multiplicação do denominador:

lim x → 0 ⁡ x 1 + 3 x - 1 = lim x → 0 ⁡ x 1 + 3 x + 1 1 + 3 x - 1 1 + 3 x + 1 ∴

lim x → 0 ⁡ x 1 + 3 x - 1 = lim x → 0 ⁡ x ( 1 + 3 x + 1 ) 3 x

Passo 3

Agora sim podemos usar algumas propriedades, vamos lá:

Mas antes disso valor simplificar a expressão, eliminando o termo x que aparece tanto no numerador quanto no denominador:

lim x → 0 ⁡ x ( 1 + 3 x + 1 ) 3 x = lim x → 0 ⁡ 1 + 3 x + 1 3

Vamos usar três propriedades: primeiro vamos tirar a constante que está multiplicando a função para fora do limite, depois usar a propriedade da soma, e por último tirar a raíz da função colocando o limite dentro da raiz, você vai ver que vai ficar mais simples resolver depois disso:

lim x → 0 ⁡ 1 + 3 x + 1 3 ∴

= 1 3 lim x → 0 ⁡ 1 + 3 x + lim x → 0 ⁡ 1 ∴

= 1 3 lim x → 0 ⁡ 1 + 3 lim x → 0 ⁡ x + lim x → 0 ⁡ 1

Passo 4

Agora é só substituir o valor 0 na expressão e pronto!

1 3 lim x → 0 ⁡ 1 + 3 lim x → 0 ⁡ x + lim x → 0 ⁡ 1 ∴

= 1 3 1 + 3.0 + 1 ∴

= 2 3

Prontinho!!

Resposta

lim x → 0 ⁡ x 1 + 3 x - 1 = 2 3

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