Teoria Completa
Bom, essa teoria aqui foi criada para resolver problemas em que temos uma diferença de frações, envolvendo polinômios de diferentes graus e raízes, e ambos acabam indo para infinito quando vai para determinado valor:
Repara, ao substituir o limite chegamos em algo no formato :
Esse que eu coloquei vem do fato de que podemos aproximar lateralmente de duas maneiras diferentes.
Enfim, a questão é que não podemos operar nada com “infinitos” quando não são de mesmo sinal, e seria muito trabalhoso analisar lateralmente os dois caras.
Qual é o jeito? Vamos igualar os denominadores, aqui vamos usar o MMC:
Ao fatorar o segundo caso, vemos que o MMC será , então vamos juntá-los, multiplicando o primeiro termo em cima e embaixo por :
Fazendo isso no limite:
Observando-o lateralmente temos:
Se ele perguntar da existência, lembra que quando temos o limite não existe no resultado.
Para ser sincero, a maioria dessas questões com essa cara acabará resultando num limite que não existe! Enfim, é isso, exercícios agora!
Exercício Resolvido #1
Calcule o limite, caso exista. Caso não exista, justifique.
Passo 1
Vamos lá galera. Primeiro, vamos tentar substituir o valor do limite em cada uma das expressões:
O que é uma indeterminação. Então, precisamos manipular esse expressão pra resolver isso.
Passo 2
Se você notar bem, o denominador da esquerda é igual ao denominador da direita, porém multiplicado por
Então, vamos multiplicar denominador e o numerador da expressão da direita pra gerar um denominador comum:
Passo 3
Vamos abrir esse denominador agora e separar o limite entre a parte que zera e a parte que vai convergir para um valor:
Esse limite do vai para para valores antes de e depois de . Ele não existirá, portanto.
Assim,
Resposta
Exercício Resolvido #2
Calcule o limite ou justifique porque não existe:
Passo 1
Lança o , antes de qualquer coisa:
Com isso, eu tenho que juntar os denominadores para juntar as análises numa só.
Passo 2
Partiu juntar as duas frações? Parece uma boa, vamos tentar:
Passo 3
A partir daqui temos que separar a parte que gera um no denominador para parte que não gera. Fica assim:
Só que para esse cara temos os limites laterais explodindo para , pela direita, e para pela esquerda.
Assim, o limite não existe!
Resposta
Exercício Resolvido #3
Calcule o limite, caso exista. Caso não exista, justifique.
Passo 1
Vamos lá galera. Primeiro, vamos tentar substituir o valor do limite em cada uma das expressões:
O que é uma indeterminação. Então, precisamos manipular esse expressão pra resolver isso.
Passo 2
Se você notar bem, o denominador da direita é igual ao denominador da esquerda, porém multiplicado por e dividido por 4. Oras, basta a gente fazer o inverso então pra revelar a verdadeira identidade desse denominador. Primeiro, multiplicamos por 4 em cima e em baixo:
E depois dividimos por x em cima e em baixo:
E juntamos essa fração reescrita:
Passo 3
Dá uma olhada no limite que a gente obteve: não é que tem tudo a ver com ? Afinal:
Sendo assim, reescrevemos o limite para:
E olha só! Uma diferença de cubos! Lembrando do produto notável:
Sendo e , mais uma vez a gente reescreve o limite e ficamos com:
Epa, denominador e numerador com termos iguais? Só cortar!
Sem indeterminação mais galera, só substituir agora: