Indeterminação Infinito - Infinito

Teoria Completa

Bom, essa teoria aqui foi criada para resolver problemas em que temos uma diferença de frações, envolvendo polinômios de diferentes graus e raízes, e ambos acabam indo para infinito quando x vai para determinado valor:

lim x → 4 ⁡ 1 x - 4 - 1 x 2 - 5 x + 4

Repara, ao substituir o limite chegamos em algo no formato ∞ - ∞ :

lim x → 4 ⁡ 1 x - 4 - 1 x 2 - 5 x + 4 = 1 4 - 4 - 1 16 - 5 4 + 4

= 1 0 - 1 0 = ± ∞ - ( ± ∞ )

Esse ± que eu coloquei vem do fato de que podemos aproximar lateralmente de duas maneiras diferentes.

Enfim, a questão é que não podemos operar nada com “infinitos” quando não são de mesmo sinal, e seria muito trabalhoso analisar lateralmente os dois caras.

Qual é o jeito? Vamos igualar os denominadores, aqui vamos usar o MMC:

1 x - 4 - 1 x 2 - 5 x + 4 = 1 x - 4 - 1 x - 4 x - 1

Ao fatorar o segundo caso, vemos que o MMC será x - 4 x - 1 , então vamos juntá-los, multiplicando o primeiro termo em cima e embaixo por x - 1 :

x - 1 x - 4 x - 1 - 1 x - 4 x - 1 = x - 1 - 1 x - 4 x - 1

= x - 2 x - 4 x - 1

Fazendo isso no limite:

lim x → 4 ⁡ x - 2 x - 4 x - 1 = lim x → 4 ⁡ 1 x - 4 lim x → 4 ⁡ x - 2 x - 1

= lim x → 4 ⁡ 1 x - 4 4 - 2 4 - 1 = 2 3 lim x → 4 ⁡ 1 x - 4

Observando-o lateralmente temos:

lim x → 4 + ⁡ 1 x - 4 - 1 x 2 - 5 x + 4 = + ∞

lim x → 4 - ⁡ 1 x - 4 - 1 x 2 - 5 x + 4 = - ∞

Se ele perguntar da existência, lembra que quando temos ± ∞ o limite não existe no resultado.

Para ser sincero, a maioria dessas questões com essa cara acabará resultando num limite que não existe! Enfim, é isso, exercícios agora!

Expandir

Exercício Resolvido #1

Elaboração Própria

Calcule o limite, caso exista. Caso não exista, justifique.

lim x → 1 ⁡ 2 x 3 - x - 3 x 2 - 1

MOSTRAR SOLUÇÃO COMPLETA

Passo 1

Vamos lá galera. Primeiro, vamos tentar substituir o valor do limite em cada uma das expressões:

lim x → 1 ⁡ 2 x 3 - x - 3 x 2 - 1 = 2 1 - 1 - 3 1 - 1 = 2 0 - 3 0 = ∞ - ∞

O que é uma indeterminação. Então, precisamos manipular esse expressão pra resolver isso.

Passo 2

Se você notar bem, o denominador da esquerda é igual ao denominador da direita, porém multiplicado por x .

Então, vamos multiplicar denominador e o numerador da expressão da direita pra gerar um denominador comum:

lim x → 1 ⁡ 2 x 3 - x - 3 x 2 - 1 = lim x → 1 ⁡ 2 x 3 - x - 3 x x 3 - x = lim x → 1 ⁡ 2 - 3 x x 3 - x

Passo 3

Vamos abrir esse denominador agora e separar o limite entre a parte que zera e a parte que vai convergir para um valor:

lim x → 1 ⁡ 2 - 3 x x 3 - x = lim x → 1 ⁡ 2 - 3 x x x 2 - 1 = lim x → 1 ⁡ 2 - 3 x x x + 1 x - 1

= lim x → 1 ⁡ 1 x - 1 lim x → 1 ⁡ 2 - 3 x x x + 1 = lim x → 1 ⁡ 1 x - 1 2 - 3 1 1 + 1

= - 1 2 lim x → 1 ⁡ 1 x - 1

Esse limite do 1 x - 1 vai para - ∞ para valores antes de 1 e depois de 1 . Ele não existirá, portanto.

lim x → 1 ⁡ 1 x - 1 → n ã o   e x i s t e !

Assim,

lim x → 1 ⁡ 2 x 3 - x - 3 x 2 - 1 → n ã o   e x i s t e !

Resposta

O   l i m i t e   n ã o   e x i s t e

Exercício Resolvido #2

USP – Cálculo 1 – P1 2014 – 1b

Calcule o limite ou justifique porque não existe:

  l i m x → 2 1 x 2 - 2 x - x + 1 x - 2      

MOSTRAR SOLUÇÃO COMPLETA

Passo 1

Lança o x , antes de qualquer coisa:

l i m x → 2 1 x 2 - 2 x - x + 1 x - 2   = 1 0 - 3 0   = ∞ - ∞

Com isso, eu tenho que juntar os denominadores para juntar as análises numa só.

Passo 2

Partiu juntar as duas frações? Parece uma boa, vamos tentar:

l i m x → 2 1 x 2 - 2 x - x + 1 x - 2   = l i m x → 2 1 x 2 - 2 x - x ( x + 1 ) x ( x - 2 )   =   - l i m x → 2 x 2 + x - 1 x 2 - 2 x  

  - l i m x → 2 5 x 2 - 2 x  

Passo 3

A partir daqui temos que separar a parte que gera um 0 no denominador para parte que não gera. Fica assim:

  - l i m x → 2 5 x x - 2   = l i m x → 2 - 5 x   1 x - 2   = - 5 2 l i m x → 2 1 x - 2  

Só que para esse cara temos os limites laterais explodindo para + ∞ , pela direita, e para - ∞ pela esquerda.

l i m x → 2 + 1 x - 2   = + ∞

l i m x → 2 - 1 x - 2   = - ∞

Assim, o limite não existe!

Resposta

O   l i m i t e   n ã o   e x i s t e

Exercício Resolvido #3

Elaboração Própria

Calcule o limite, caso exista. Caso não exista, justifique.

lim x → 4 ⁡ x 3 x - 4 - 16 x 0,25 x 2 - x

MOSTRAR SOLUÇÃO COMPLETA

Passo 1

Vamos lá galera. Primeiro, vamos tentar substituir o valor do limite em cada uma das expressões:

lim x → 4 ⁡ x 3 x - 4 - 16 x 0,25 x 2 - x = 4 3 4 - 4 - 16.4 0,25 4 2 - 4 = 64 0 - 64 0 = ∞ - ∞

O que é uma indeterminação. Então, precisamos manipular esse expressão pra resolver isso.

Passo 2

Se você notar bem, o denominador da direita é igual ao denominador da esquerda, porém multiplicado por x e dividido por 4. Oras, basta a gente fazer o inverso então pra revelar a verdadeira identidade desse denominador. Primeiro, multiplicamos por 4 em cima e em baixo:

16 x 0,25 x 2 - x = 4 4 16 x 0,25 x 2 - x = 64 x x 2 - 4 x

E depois dividimos por x em cima e em baixo:

64 x x 2 - 4 x = 1 x 1 x 64 x x 2 - 4 x = 64 x - 4

E juntamos essa fração reescrita:

lim x → 4 ⁡ x 3 x - 4 - 64 x - 4 =   lim x → 4 ⁡ x 3 - 64 x - 4

Passo 3

Dá uma olhada no limite que a gente obteve: não é que tem tudo a ver com 4 ? Afinal:

4 3 = 64

Sendo assim, reescrevemos o limite para:

lim x → 4 ⁡ x 3 - 64 x - 4 = lim x → 4 ⁡ x 3 - 4 3 x - 4

E olha só! Uma diferença de cubos! Lembrando do produto notável:

a 3 - b 3 = a - b a 2 + a b + b 2

Sendo a = x e b = 4 , mais uma vez a gente reescreve o limite e ficamos com:

lim x → 4 ⁡ x 3 - 4 3 x - 4 = lim x → 4 ⁡ x - 4 x 2 + 4 x + 16 x - 4

Epa, denominador e numerador com termos iguais? Só cortar!

lim x → 4 ⁡ x - 4 x 2 + 4 x + 16 x - 4 = lim x → 4 ⁡ x 2 + 4 x + 16

Sem indeterminação mais galera, só substituir agora:

lim x → 4 ⁡ x 2 + 4 x + 16 = 4 2 + 4.4 + 16 = 16 + 16 + 16 = 48

Resposta

lim x → 4 ⁡ x 3 x - 4 - 16 x 0,25 x 2 - x = 48

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