Indeterminação Infinito - Infinito

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Teoria

Diferença de Frações

Fala, querido! Vamos tentar resolver esse limite

lim x → 4 ⁡ 1 x - 4 - 1 x 2 - 5 x + 4

A gente começa substituindo o valor do limite.

lim x → 4 ⁡ 1 x - 4 - 1 x 2 - 5 x + 4 = 1 4 - 4 - 1 16 - 5 4 + 4

= 1 0 - 1 0 = ± ∞ - ( ± ∞ )

Esse ± que eu coloquei vem do fato de que podemos aproximar lateralmente de duas maneiras diferentes. Aí x → 4 + ∞ - ∞ , e x → 4 - - ∞ + ∞ .

Olha só, ficou infinito menos infinito nos dois casos. Isso dá quanto? Nem faz muito sentido essa conta, né? Acontece que ∞ - ∞ é um tipo de indeterminação. Será que a gente consegue sair dela e achar o valor real desse limite aí? Ou é melhor a gente desistir dele?

Claro que NÃO vamos desistir! Isso porque tem sim um jeito de sair dessa indeterminação. Vou te contar como faz agora. Vamos!

A ideia para sair de indeterminações é sempre reescrever nossa função que está no limite. Então vamos reescrever nossa função. Temos uma soma de frações, certo? Um jeito de reescrever uma soma de frações é fazendo o MMC e igualar os denominadores.

Vamos fatorar aquele termo quadrático que está no denominador da direita

x 2 - 5 x + 4

A gente usa a fórmulinha

a x 2 + b x + c = a x - x 0 x - x 1

Onde x 0 e x 1 são raízes do polinômio de segundo grau. Vamos achar essas raízes

x 2 - 5 x + 4 = 0

Δ = 25 - 4 1 4 = 9

x = 5 ± 3 2

x 0 = 4

x 1 = 1

Então temos

a x 2 + b x + c = a x - x 0 x - x 1

x 2 - 5 x + 4 = x - 1 x - 4

Nossa função fica:

1 x - 4 - 1 x 2 - 5 x + 4 = 1 x - 4 - 1 x - 4 x - 1

Para os dois termos ficarem com o mesmo denominador, a gente só precisa multiplicar o termo da esquerda, embaixo e em cima, por x - 1 :

x - 1 x - 4 x - 1 - 1 x - 4 x - 1 = x - 1 - 1 x - 4 x - 1

= x - 2 x - 4 x - 1

Fazendo isso no limite:

lim x → 4 ⁡ x - 2 x - 4 x - 1 = lim x → 4 ⁡ 1 x - 4 lim x → 4 ⁡ x - 2 x - 1

= lim x → 4 ⁡ 1 x - 4 4 - 2 4 - 1 = 2 3 lim x → 4 ⁡ 1 x - 4

Observando-o lateralmente temos:

lim x → 4 + ⁡ 1 x - 4 - 1 x 2 - 5 x + 4 = + ∞

lim x → 4 - ⁡ 1 x - 4 - 1 x 2 - 5 x + 4 = - ∞

Agora chegamos em resultados que fazem sentido! Como esses dois limites deram valores diferentes, o limite não existe. Viu? Saímos da indeterminação! 😊

Essa teoria é para resolvermos casos em que temos uma diferença de frações, envolvendo polinômios de diferentes graus, ou uma diferença entre raízes (ou uma raiz e um outro termo) e ambos acabam indo para infinito no limite, resultando numa indeterminação ∞ - ∞ .

A ideia nesses casos é reescrever a função. Vimos que para diferença entre frações, podemos fatorar os denominadores, fazer o MMC e igualar os denominadores. Mas se tivermos uma diferença de raízes?

Diferença de Raízes

Vamos ver como funciona o caso onde temos a diferença entre raízes:

Exemplo: Calcule ou prove que não existe

lim x → ∞ ⁡ x - 4 - x - 2

Temos uma diferença entre duas raízes. Caso suspeito. Vamos ver o que acontece se substituímos o limite

lim x → ∞ ⁡ x - 4 - x - 2 = ∞ - ∞

Eita! Caiu na intedeterminação ∞ - ∞ . Então o que a gente quer é descobrir como sair dela. Será que é possível?

É sim! É só a gente reescrever essa função. Vou te dar um bizu. Quando você pensa em diferença entre frações, para reescrever, você as coloca no mesmo denominador. Agora quando você tem diferença entre raízes, você precisa pensar em multiplicar pelo conjugado!

Vamos multiplicar nossa função, embaixo e em cima, pelo conjugado dela. Fica assim

x - 4 - x - 2 x - 4 + x - 2 x - 4 + x - 2 = x - 4 - x - 2 x - 4 + x - 2 x - 4 + x - 2

Lembrando do produto notável a - b a + b = a 2 - b 2 , e reparando que no nosso caso

a = x - 4

b = x - 2

Ficamos assim

x - 4 - x - 2 x - 4 + x - 2 = - 2 x - 4 + x - 2

Aplicando o limite

lim x → ∞ ⁡ - 2 x - 4 + x - 2 = - 2 ∞ + ∞ = - 2 ∞ = 0

Prontinho! É o mesmo passo a passo se apenas um termo desses for uma raiz, tá? Multiplica pelo conjugado, rearruma e parte para o braço!

Enfim, é isso, exercícios agora!

Diferença de Raízes

Exercícios Resolvidos

Exercício Resolvido #1

Calcule o limite, caso exista. Caso não exista, justifique.

lim x → 1 ⁡ 2 x 3 - x - 3 x 2 - 1

Passo 1

Vamos lá galera. Primeiro, vamos tentar substituir o valor do limite em cada uma das expressões:

lim x → 1 ⁡ 2 x 3 - x - 3 x 2 - 1 = 2 1 - 1 - 3 1 - 1 = 2 0 - 3 0 = ∞ - ∞

O que é uma indeterminação. Então, precisamos manipular esse expressão pra resolver isso.

Passo 2

Se você notar bem, o denominador da esquerda é igual ao denominador da direita, porém multiplicado por x .

Então, vamos multiplicar denominador e o numerador da expressão da direita pra gerar um denominador comum:

lim x → 1 ⁡ 2 x 3 - x - 3 x 2 - 1 = lim x → 1 ⁡ 2 x 3 - x - 3 x x 3 - x = lim x → 1 ⁡ 2 - 3 x x 3 - x

Passo 3

Vamos abrir esse denominador agora e separar o limite entre a parte que zera e a parte que vai convergir para um valor:

lim x → 1 ⁡ 2 - 3 x x 3 - x = lim x → 1 ⁡ 2 - 3 x x x 2 - 1 = lim x → 1 ⁡ 2 - 3 x x x + 1 x - 1

= lim x → 1 ⁡ 1 x - 1 lim x → 1 ⁡ 2 - 3 x x x + 1 = lim x → 1 ⁡ 1 x - 1 2 - 3 1 1 + 1

= - 1 2 lim x → 1 ⁡ 1 x - 1

Esse limite do 1 x - 1 vai para - ∞ para valores antes de 1 e depois de 1 . Ele não existirá, portanto.

lim x → 1 ⁡ 1 x - 1 → n ã o   e x i s t e !

Assim,

lim x → 1 ⁡ 2 x 3 - x - 3 x 2 - 1 → n ã o   e x i s t e !

Resposta

O   l i m i t e   n ã o   e x i s t e

Exercício Resolvido #2

Calcule o limite ou justifique porque não existe:

  l i m x → 2 1 x 2 - 2 x - x + 1 x - 2      

Passo 1

Lança o x , antes de qualquer coisa:

l i m x → 2 1 x 2 - 2 x - x + 1 x - 2   = 1 0 - 3 0   = ∞ - ∞

Com isso, eu tenho que juntar os denominadores para juntar as análises numa só.

Passo 2

Partiu juntar as duas frações? Parece uma boa, vamos tentar:

l i m x → 2 1 x 2 - 2 x - x + 1 x - 2   = l i m x → 2 1 x 2 - 2 x - x ( x + 1 ) x ( x - 2 )   =   - l i m x → 2 x 2 + x - 1 x 2 - 2 x  

  - l i m x → 2 5 x 2 - 2 x  

Passo 3

A partir daqui temos que separar a parte que gera um 0 no denominador para parte que não gera. Fica assim:

  - l i m x → 2 5 x x - 2   = l i m x → 2 - 5 x   1 x - 2   = - 5 2 l i m x → 2 1 x - 2  

Só que para esse cara temos os limites laterais explodindo para + ∞ , pela direita, e para - ∞ pela esquerda.

l i m x → 2 + 1 x - 2   = + ∞

l i m x → 2 - 1 x - 2   = - ∞

Assim, o limite não existe!

Resposta

O   l i m i t e   n ã o   e x i s t e

Exercício Resolvido #3

Calcule o limite, caso exista. Caso não exista, justifique.

lim x → 4 ⁡ x 3 x - 4 - 16 x 0,25 x 2 - x

Passo 1

Vamos lá galera. Primeiro, vamos tentar substituir o valor do limite em cada uma das expressões:

lim x → 4 ⁡ x 3 x - 4 - 16 x 0,25 x 2 - x = 4 3 4 - 4 - 16.4 0,25 4 2 - 4 = 64 0 - 64 0 = ∞ - ∞

O que é uma indeterminação. Então, precisamos manipular esse expressão pra resolver isso.

Passo 2

Se você notar bem, o denominador da direita é igual ao denominador da esquerda, porém multiplicado por x e dividido por 4. Oras, basta a gente fazer o inverso então pra revelar a verdadeira identidade desse denominador. Primeiro, multiplicamos por 4 em cima e em baixo:

16 x 0,25 x 2 - x = 4 4 16 x 0,25 x 2 - x = 64 x x 2 - 4 x

E depois dividimos por x em cima e em baixo:

64 x x 2 - 4 x = 1 x 1 x 64 x x 2 - 4 x = 64 x - 4

E juntamos essa fração reescrita:

lim x → 4 ⁡ x 3 x - 4 - 64 x - 4 =   lim x → 4 ⁡ x 3 - 64 x - 4

Passo 3

Dá uma olhada no limite que a gente obteve: não é que tem tudo a ver com 4 ? Afinal:

4 3 = 64

Sendo assim, reescrevemos o limite para:

lim x → 4 ⁡ x 3 - 64 x - 4 = lim x → 4 ⁡ x 3 - 4 3 x - 4

E olha só! Uma diferença de cubos! Lembrando do produto notável:

a 3 - b 3 = a - b a 2 + a b + b 2

Sendo a = x e b = 4 , mais uma vez a gente reescreve o limite e ficamos com:

lim x → 4 ⁡ x 3 - 4 3 x - 4 = lim x → 4 ⁡ x - 4 x 2 + 4 x + 16 x - 4

Epa, denominador e numerador com termos iguais? Só cortar!

lim x → 4 ⁡ x - 4 x 2 + 4 x + 16 x - 4 = lim x → 4 ⁡ x 2 + 4 x + 16

Sem indeterminação mais galera, só substituir agora:

lim x → 4 ⁡ x 2 + 4 x + 16 = 4 2 + 4.4 + 16 = 16 + 16 + 16 = 48

Resposta

lim x → 4 ⁡ x 3 x - 4 - 16 x 0,25 x 2 - x = 48

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