Quociente de Funções com x → Infinito

Produzido por Arthur Melo de Almeida
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Teoria

Responde aí, como resolve esse limite?

lim x → ∞ ⁡ x 3 + x + 1 x 2 + 1

Você pode pensar que:

lim x → ∞ ⁡ x 3 + x + 1 x 2 + 1 = ∞ ∞ = 1

Bom, você NÃO pode fazer isso. Não é porque as duas tendem ao infinito que elas crescem igualmente. x 2 , por exemplo, cresce bem menos que x 3 , substitua uns valores e veja que é verdade.

Calculando os limites

Assim, a dica para essas questões é verificar o maior grau do denominador no denominador e o maior do numerador no numerador.

Olhando lá para o limite do exemplo, vemos que grau de cima é 3 e o de baixo é 2 . Devemos, portanto, colocar em evidência o x 3 em cima, no numerador, e o x 2 embaixo, no denominador, já que eles são os maiores graus.

lim x → ∞ ⁡ x 3 + x + 1 x 2 + 1 = lim x → ∞ ⁡ x 3 1 + 1 x 2 + 1 x 3 x 2 1 + 1 x 2

Nós sabemos que o número 1 dividido por um número muito grande tende a 0. Com isso, podemos considerar que todas aquelas divisões de 1 por alguma potência de x também tenderão a 0 (já que x → ∞ ), logo:

lim x → ∞ ⁡ x 3 1 + 0 + 0 x 2 ( 1 + 0 ) = lim x → ∞ ⁡ x 3 x 2

Agora basta realizarmos a divisão e teremos:

lim x → ∞ ⁡ x = ∞

Quando há raiz

lim x → - ∞ ⁡ x + 1 4 x 2 + 8 x

Quando temos raiz, vamos deixar os termos de maior grau em evidência e tirar o que podemos da raiz:

lim x → - ∞ ⁡ x + 1   4 x 2 + 8 x = lim x → - ∞ ⁡ x 1 + 1 x x 2 4 + 8 x = lim x → - ∞ ⁡ x 1 + 1 x | x | 4 + 8 x

Como temos uma raiz par, o termo sai com um módulo. Muita atenção aqui, pois isso pode mudar o sinal do limite! Veja que x está indo para menos infinito, um número negativo, logo x = - x :

lim x → - ∞ ⁡ x 1 + 1 x | x | 4 + 8 x = lim x → - ∞ ⁡ x 1 + 1 x - x 4 + 8 x = lim x → - ∞ ⁡ 1 + 1 x - 4 + 8 x = - 1 2

Dica importantíssima:

Em questões desse tipo é bom se guiar em quem tem o maior grau, comparando numerador e denominador; se o grau de cima for maior a função irá para ± ∞ , se for o mesmo vai para uma constante, se o de baixo for maior vai a zero.

Quociente de Funções Exponenciais

Cara, como vamos resolver esse aqui

lim x → ∞ ⁡ 3 x - 2 x 4 x + 5

Então, a gente vai ter algo parecido com ∞ / ∞ !

Qual foi a boa que eu te ensinei? Colocar o termo de maior grau em evidência em cima e embaixo né? Aqui é parecido, mas não é o expoente que você vai olhar afinal é tudo x . Você vai olhar para a base de cada função!

No numerador a maior base é 3 e no denominador é 4 , então vamos colocar esses caras em evidência desse jeito:

lim x → ∞ ⁡ 3 x - 2 x 4 x + 5 = lim x → ∞ ⁡ 3 x 3 x 3 x - 2 x 3 x 4 x 4 x 4 x + 5 4 x = lim x → ∞ ⁡ 3 x 1 - 2 3 x 4 x 1 + 5 1 4 x

Juntamos o termo em evidência de cima com o de baixo!

lim x → ∞ ⁡ 3 x 1 - 2 3 x 4 x 1 + 5 1 4 x = lim x → ∞ ⁡ 3 x 4 x 1 - 2 3 x 1 + 5 1 4 x = lim x → ∞ ⁡ 3 4 x 1 - 2 3 x 1 + 5 1 4 x

Zeramos as exponenciais de base menor que 1:

lim x → ∞ ⁡ 3 4 x 1 - 2 3 x 1 + 5 1 4 x = 0 1 - 0 1 + 5 0 = 0

É isso pessoal! Vamos para os exercícios.

Calculando os limites

Quando há raiz

Quociente de Funções Exponenciais

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