Quociente de Polinômios com x → Constante

Teoria Completa

Faaala galera, da uma olhadinha aqui:

lim x → 2 ⁡ x - 2 x 2 - 5 x + 6 = 2 - 2 2 2 - 5 2 + 6 = 0 0

Opaaa, obtemos uma indeterminação 0 / 0 , e por isso não podemos usar as propriedades. Maas, então como resolver o limite?

A ideia é a gente manipular o numerador e denominador, para que de algum modo a gente consiga sair dessa indeterminação que existe só pra complicar nossa vida.

Mas como fazemos isso ?

Vamos aplicar algumas ideias de fatoração que vimos no colégio. Por isso, vamos relembra-las hehe.

Fatoração de polinômios

  • Fatoração de polinômio do 2 º grau por Bhaskara:
  • Nós vamos ter em algum momento do nosso limite, uma equaçãozinha do segundo grau :

    y = a x 2 + b x + c

    A ideia é que vamos aplicar Bhaskara, e descobrir as raízes c e x 2 :

    x = - b ± b 2 - 4 a c 2 a

    Depois de descobrir, vamos escrever sua forma fatorada no limite, que é :

    a x - x 1 x - x 2

    Não esquece desse a aí quando ele for diferente de 1 !

    Ex:

    lim x → 2 ⁡ x - 2 x 2 - 5 x + 6

    Se substituirmos o valor de 2, chegaremos novamente na indeterminação 0 0 , assim observa que temos uma equaçãozinha do segundo grau no denominador :

    x 2 - 5 x + 6

    Por Bhaskara, vamos descobrir nossas raízes :

    x = - ( - 5 ) ± ( - 5 ) 2 - 4 × 1 × 6 2 × 1 ⟹ 5 ± 1 2

    Assim, x 1 = 3 e x 2 = 2 , escrevendo a forma fatorada :

    a x - x 1 x - x 2

    x - 3 x - 2

    Vamos substituir isso no nosso limite :

    lim x → 2 ⁡ x - 2 x 2 - 5 x + 6 = lim x → 2 ⁡ ( x - 2 ) x - 3 ( x - 2 )

    Note que podemos, simplificar:

    lim x → 2 ⁡ 1 x - 3 × x - 2 x - 2 = lim x → 2 ⁡ 1 x - 3 = 1 2 - 3 = - 1

  • Produtos notáveis:
  • Outra coisa que podemos usar é a ideia de produtos notáveis, os principais são :

    x 2 - b 2 = x - b x + b

    x 3 - b 3 = x - b ( x 2 + x b + b 2 )

    x 3 + b 3 = x + b x 2 - x b + b 2

    x 2 ± 2 x b + b 2 = x ± b 2

    Vamos pensar num exemplo :

    lim x → 3 ⁡ x - 3 x - 3

    Mais uma vez a indeterminação não deixa a gente simplesmente substituir. Mas podemos pensar nos produtos notáveis, como ?

    Aqui vai uma gambiarra, vamos lembrar que :

    x - 3 = x 2 - 3 2  

    E vimos pelos produtos notáveis que :

    x 2 - b 2 = x - b x + b

    Então nosso denominador fica :

    x - 3 = x 2 - 3 2 = x - 3 x + 3

    Colocando no nosso limite :

    lim x → 3 ⁡ x - 3 x - 3 =   lim x → 3 ⁡ x - 3 x - 3 x + 3

    Simplificando :

    lim x → 3 ⁡ x - 3 x - 3 x + 3 = lim x → 3 ⁡ 1 x + 3 × x - 3 x - 3 =

    lim x → 3 ⁡ 1 x + 3 = 1 3 + 3 = 1 2 √ 3

    É essa a ideia, você usa um produto notável para manipulatr o limite e sair da indeterminação.

  • Briot-Ruffini:

Imagine que temos:

lim x → 3 ⁡ 2 x 4 - 3 x 3 - 17 x - 30 x - 3 = 2 ⋅ 3 4 - 3 3 3 - 17 ⋅ 3 - 30 x - 3 = 0 0  

Para sair dessa indeterminação, dividimos numerador por denominador usando Briot-Ruffini:

Passo 1: Arme o quadro:

Escreva num quadro, como abaixo, os coeficientes do polinômio que se quer dividir alinhados do lado direito superior. A raiz do polinômio que dividimos deve estar do lado esquerdo superior. Já o primeiro coeficiente, do maior grau do polinômio, fica do lado direito inferior, logo abaixo de onde o escreveu em cima:

OBS.: Repare que colocamos um 0 ali ocupando o espaço do grau x 2 . Para qualquer grau entre o grau máximo e o grau 0 que tenha coeficiente nulo no polinômio, você precisa sempre escrever um 0 no lugar do seu coeficiente.

Passo 2: Multiplique e some:

Multiplique a raiz pelo primeiro coeficiente, que você reescreveu embaixo ainda no passo 1, e some-o com o próximo coeficiente (nesse caso, 2 . 3 + - 3 = 3 ). Escreva o resultado embaixo do segundo coeficiente:

Passo 3: Repita:

Passo 4: Junte:

Escreva o resultado com os coeficientes ordenados, sendo o primeiro que aparece na direita inferior aquele que acompanha x elevado a n - 1 e assim por diante até o penúltimo, que será o termo independente de x , uma constante! O último termo é o resto da divisão:

Logo, podemos escrever:

l i m x → 3 2 x 4 - 3 x 3 - 17 x - 30 x - 3 = l i m x → 3 2 x 3 + 3 x 2 + 9 x + 10 = 2 3 3 + 3 3 2 + 9 3 + 10 = 118

Caso com módulo

Agora que você conhece como fazer a fatoração de termos polinomiais. Como fica se no limite aparecer um módulo?

lim x → 3 ⁡ x 2 - 7 x + 12 x - 3

Substituindo esse valor (pra variar...) teremos uma indeterminação 0 0 . Agora a questão é fatorar esse cara de cima. Usando Bhaskara, a gente chega ao seguinte:

lim x → 3 ⁡ x 2 - 7 x + 12 x - 3 = lim x → 3 ⁡ x - 3 x - 4 x - 3

Ok, mas e esse módulo aí? Por definição, ele é dado assim:

| x - 3 | = - ( x - 3 ) ,     x < 3 ( x - 3 ) ,     x ≥ 3

Então vamos dividir a análise lateralmente também! Para valores maiores que 3 será:

lim x → 3 + ⁡ x - 3 x - 4 ( x - 3 ) = lim x → 3 + ⁡ x - 4 = 3 - 4 = - 1

Para os valores menores que 3 , por sua vez:

lim x → 3 - ⁡ x - 3 x - 4 - ( x - 3 ) = lim x → 3 - ⁡ - x - 4 = - 3 - 4 = 1

E, enfim, a gente vê que os limites laterais não batem e portanto o limite:

lim x → 3 ⁡ x 2 - 7 x + 12 x - 3

não existe!

Agora vamos aos exercícios!

Expandir

Exercício Resolvido #1

Elaboração própria

Resolva o limite:

lim x → 5 ⁡ x 2 - 25 x - 5

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Passo 1

Começando mais uma questão de limites, o primeiro passo é substituir o x :

lim x → 5 ⁡ x 2 - 25 x - 5   =   5 2 - 25 5 - 5   = 25 - 25 0 = 0 0

Passo 2

Indeterminação à vista, temos que arranjar um jeito de escapar da situação. Para isso, vou te lembrar de um negócio, produto notável conjugado:

a 2 - b 2   = ( a + b ) ( a - b )

Pensa comigo, nessa onda do produto notável, quem ali eu posso quebrar? O ilustríssimo ( x 2 - 25 ) !

x 2 - 25 = ( x + 5 ) ( x - 5 )

Agora vamos reescrever o limite e ver o que sai.

Passo 3

Reescrevendo, ficamos com isso aqui:

lim x → 5 ⁡ x 2 - 25 x - 5 = lim x → 5 ⁡ ( x + 5 ) ( x - 5 ) x - 5

Vou cortar o x - 5 , ok?

lim x → 5 ⁡ ( x + 5 ) ( x - 5 ) x - 5 =   lim x → 5 ⁡ x + 5 = 5 + 5 = 10

Resultado em mãos, acabou a questão.

Resposta

lim x → 5 ⁡ x 2 - 25 x - 5 = 10

Exercício Resolvido #2

UERJ – Cálculo 1 – Lista de Limites Professor Roger - 5

Calcule o limite abaixo usando as propriedades operatórias:

lim y → - 2 ⁡ y 3 + 8 y + 2

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Passo 1

Ok, se substituirmos os valores:

lim y → - 2 ⁡ y 3 + 8 y + 2 = ( - 2 ) 3 + 8 ( - 2 ) + 2 = 0 0

É, deu ruim. Vamos ter que usar uma saída algébrica.

Passo 2

Bom, não é nada trivial pensar no que eu vou mostrar aqui de primeira, até porque não é um dos produtos notáveis mais importantes. Repara que 8 = ( 2 ) 3 , bem como y 3 = y 3 . Apenas te mostrando que os de cima são o cubo dos debaixo.

Tem uma relação que amarra isso tudo:

a 3 + b 3 = ( a + b ) ( a 2 - a b + b 2 )

Bom, no caso, eu posso abrir o termo de cima assim:

y 3 + 8 = ( y + 2 ) ( y 2 - 2 y + 4 )

Passo 3

Basta levar isso para o limite em si e resolver:

lim y → - 2 ⁡ y 3 + 8 y + 2 = lim y → - 2 ⁡ y + 2 y 2 - 2 y + 4 y + 2 = lim y → - 2 ⁡ y 2 - 2 y + 4

= - 2 2 - 2 - 2 + 4 = 4 + 4 + 4 = 12

Resposta

lim y → - 2 ⁡ y 3 + 8 y + 2 = 12

Exercício Resolvido #3

Elaboração Própria

Calcule o limite:

lim x → - 4 ⁡ x 2 + 8 x + 16 x + 4

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Passo 1

Rapaz, substituindo esse x → - 4 nós ficamos com uma indeterminação de 0 0 . Nesse caso, vemos que - 4 é raiz dos dois caras. Vamos transformar o outro em um termo fatorado em função de x - - 4 = x + 4 .

Olha o termo do numerador, ele cai no produto notável do quadrado perfeito:

x 2 + 8 x + 16 = x + 4 2

Assim, reescrevendo:

lim x → - 4 ⁡ x 2 + 8 x + 16 x + 4 = lim x → - 4 ⁡ x + 4 2 x + 4

Passo 2

Repara, no denominador aquele módulo vai dar uma leve complicada na nossa vida. Não vai não, basta lembrar que o módulo vale ele mesmo quando é positivo e seu oposto quando é negativo. Nesse caso aqui, fica:

x + 4 = - ( x + 4 ) ,     x < - 4 ( x + 4 ) ,     x ≥ - 4

Logo, o limite vai depender se nos aproximamos pela direita ou pela esquerda de - 4 . O que isso significa? Que vamos ter que calcular o limite lateral para cada caso!

Passo 3

Para x ≥ - 4 :

lim x → - 4 ⁡ x + 4 2 x + 4 = lim x → - 4 ⁡ x + 4 2 x + 4 = lim x → - 4 ⁡ x + 4

= - 4 + 4 = 0

Para x < - 4 :

lim x → - 4 ⁡ x + 4 2 x + 4 = lim x → - 4 ⁡ x + 4 2 - x + 4 = lim x → - 4 ⁡ - x + 4

= - - 4 + 4 = 0

Enfim, o limite lateral bateu para uma constante, então temos um resultado.

Resposta

lim x → - 4 ⁡ x 2 + 8 x + 16 x + 4 = 0