Quociente de Polinômios com x → Constante

Teoria Completa

Veja que:

lim x → 2 ⁡ x 3 - 8 x 2 - 5 x + 6 = 2 3 - 8 2 2 - 5 2 + 6 = 0 0

Como obtemos uma indeterminação 0 / 0 , não podemos usar as propriedades. Então como resolver o limite?

Como o 2 zerou o numerador e o denominador, ele é a raíz dos dois polinômios. Para tirar o termo que zera, vamos dividir em cima e embaixo por ( x - 2 ) , ou seja, x - n ú m e r o   q u e   z e r a .

Para isso, é bom conhecer sobre métodos de divisão/fatoração polinomial. Se você já sabe, pode pular essa parte.

Fatoração de polinômios

  • Fatoração de polinômio do 2 º grau por Bhaskara:
  • x = - b ± b 2 - 4 a c 2 a ,   y = a x 2 + b x + c

    OBS: É bom lembrar que ao abrir um polinômio do segundo grau ( a x 2 + b x + c ) , com x 1 e x 2 sendo raízes, colocamos ele como a x - x 1 x - x 2 . Não esquece desse a aí quando ele for diferente de 1 !

  • Produtos notáveis:
  • x 2 - b 2 = x - b x + b

    x 3 - b 3 = x - b ( x 2 + x b + b 2 )

    x 3 + b 3 = x + b x 2 - x b + b 2

    x 2 ± 2 x b + b 2 = x ± b 2

  • Briot-Ruffini:

Imagine que temos:

lim x → 3 ⁡ 2 x 4 - 3 x 3 - 17 x - 30 x - 3 = 2 ⋅ 3 4 - 3 3 3 - 17 ⋅ 3 - 30 x - 3 = 0 / 0  

Para sair dessa indeterminação, dividimos numerador por denominador usando Briot-Ruffini:

Passo 1: Arme o quadro:

Escreva num quadro, como abaixo, os coeficientes do polinômio que se quer dividir alinhados do lado direito superior. A raiz do polinômio que dividimos deve estar do lado esquerdo superior. Já o primeiro coeficiente, do maior grau do polinômio, fica do lado direito inferior, logo abaixo de onde o escreveu em cima:

OBS.: Repare que colocamos um 0 ali ocupando o espaço do grau x 2 . Para qualquer grau entre o grau máximo e o grau 0 que tenha coeficiente nulo no polinômio, você precisa sempre escrever um 0 no lugar do seu coeficiente.

Passo 2: Multiplique e some:

Multiplique a raiz pelo primeiro coeficiente, que você reescreveu embaixo ainda no passo 1, e some-o com o próximo coeficiente (nesse caso, 2 . 3 + - 3 = 3 ). Escreva o resultado embaixo do segundo coeficiente:

Passo 3: Repita:

Passo 4: Junte:

Escreva o resultado com os coeficientes ordenados, sendo o primeiro que aparece na direita inferior aquele que acompanha x elevado a n - 1 e assim por diante até o penúltimo, que será o termo independente de x , uma constante! O último termo é o resto da divisão:

Logo, podemos escrever:

l i m x → 3 2 x 4 - 3 x 3 - 17 x - 30 x - 3 = l i m x → 3 2 x 3 + 3 x 2 + 9 x + 10 = 2 3 3 + 3 3 2 + 9 3 + 10 = 118

Caso com módulo

Agora que você conhece como fazer a fatoração de termos polinomiais. Como fica se no limite aparecer um módulo?

lim x → 3 ⁡ x 2 - 7 x + 12 x - 3

Substituindo esse valor (pra variar...) teremos uma indeterminação 0 0 . Agora a questão é fatorar esse cara de cima. Usando Bhaskara, a gente chega ao seguinte:

lim x → 3 ⁡ x 2 - 7 x + 12 x - 3 = lim x → 3 ⁡ x - 3 x - 4 x - 3

Ok, mas e esse módulo aí? Por definição, ele é dado assim:

| x - 3 | = - ( x - 3 ) ,     x < 3 ( x - 3 ) ,     x ≥ 3

Então vamos dividir a análise lateralmente também! Para valores maiores que 3 será:

lim x → 3 + ⁡ x - 3 x - 4 ( x - 3 ) = lim x → 3 + ⁡ x - 4 = 3 - 4 = - 1

Para os valores menores que 3 , por sua vez:

lim x → 3 - ⁡ x - 3 x - 4 - ( x - 3 ) = lim x → 3 - ⁡ - x - 4 = - 3 - 4 = 1

E, enfim, a gente vê que os limites laterais não batem e portanto o limite:

lim x → 3 ⁡ x 2 - 7 x + 12 x - 3

não existe!

Agora vamos aos exercícios!

Expandir

Exercício Resolvido #1

Elaboração própria

Resolva o limite:

lim x → 5 ⁡ x 2 - 25 x - 5

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Passo 1

Começando mais uma questão de limites, o primeiro passo é substituir o x :

lim x → 5 ⁡ x 2 - 25 x - 5   =   5 2 - 25 5 - 5   = 25 - 25 0 = 0 0

Passo 2

Indeterminação à vista, temos que arranjar um jeito de escapar da situação. Para isso, vou te lembrar de um negócio, produto notável conjugado:

a 2 - b 2   = ( a + b ) ( a - b )

Pensa comigo, nessa onda do produto notável, quem ali eu posso quebrar? O ilustríssimo ( x 2 - 25 ) !

x 2 - 25 = ( x + 5 ) ( x - 5 )

Agora vamos reescrever o limite e ver o que sai.

Passo 3

Reescrevendo, ficamos com isso aqui:

lim x → 5 ⁡ x 2 - 25 x - 5 = lim x → 5 ⁡ ( x + 5 ) ( x - 5 ) x - 5

Vou cortar o x - 5 , ok?

lim x → 5 ⁡ ( x + 5 ) ( x - 5 ) x - 5 =   lim x → 5 ⁡ x + 5 = 5 + 5 = 10

Resultado em mãos, acabou a questão.

Resposta

lim x → 5 ⁡ x 2 - 25 x - 5 = 10

Exercício Resolvido #2

UERJ – Cálculo 1 – Lista de Limites Professor Roger - 5

Calcule o limite abaixo usando as propriedades operatórias:

lim y → - 2 ⁡ y 3 + 8 y + 2

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Passo 1

Ok, se substituirmos os valores:

lim y → - 2 ⁡ y 3 + 8 y + 2 = ( - 2 ) 3 + 8 ( - 2 ) + 2 = 0 0

É, deu ruim. Vamos ter que usar uma saída algébrica.

Passo 2

Bom, não é nada trivial pensar no que eu vou mostrar aqui de primeira, até porque não é um dos produtos notáveis mais importantes. Repara que 8 = ( 2 ) 3 , bem como y 3 = y 3 . Apenas te mostrando que os de cima são o cubo dos debaixo.

Tem uma relação que amarra isso tudo:

a 3 + b 3 = ( a + b ) ( a 2 - a b + b 2 )

Bom, no caso, eu posso abrir o termo de cima assim:

y 3 + 8 = ( y + 2 ) ( y 2 - 2 y + 4 )

Passo 3

Basta levar isso para o limite em si e resolver:

lim y → - 2 ⁡ y 3 + 8 y + 2 = lim y → - 2 ⁡ y + 2 y 2 - 2 y + 4 y + 2 = lim y → - 2 ⁡ y 2 - 2 y + 4

= - 2 2 - 2 - 2 + 4 = 4 + 4 + 4 = 12

Resposta

lim y → - 2 ⁡ y 3 + 8 y + 2 = 12

Exercício Resolvido #3

Elaboração Própria

Calcule o limite:

lim x → - 4 ⁡ x 2 + 8 x + 16 x + 4

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Passo 1

Rapaz, substituindo esse x → - 4 nós ficamos com uma indeterminação de 0 0 . Nesse caso, vemos que - 4 é raiz dos dois caras. Vamos transformar o outro em um termo fatorado em função de x - - 4 = x + 4 .

Olha o termo do numerador, ele cai no produto notável do quadrado perfeito:

x 2 + 8 x + 16 = x + 4 2

Assim, reescrevendo:

lim x → - 4 ⁡ x 2 + 8 x + 16 x + 4 = lim x → - 4 ⁡ x + 4 2 x + 4

Passo 2

Repara, no denominador aquele módulo vai dar uma leve complicada na nossa vida. Não vai não, basta lembrar que o módulo vale ele mesmo quando é positivo e seu oposto quando é negativo. Nesse caso aqui, fica:

x + 4 = - ( x + 4 ) ,     x < - 4 ( x + 4 ) ,     x ≥ - 4

Logo, o limite vai depender se nos aproximamos pela direita ou pela esquerda de - 4 . O que isso significa? Que vamos ter que calcular o limite lateral para cada caso!

Passo 3

Para x ≥ - 4 :

lim x → - 4 ⁡ x + 4 2 x + 4 = lim x → - 4 ⁡ x + 4 2 x + 4 = lim x → - 4 ⁡ x + 4

= - 4 + 4 = 0

Para x < - 4 :

lim x → - 4 ⁡ x + 4 2 x + 4 = lim x → - 4 ⁡ x + 4 2 - x + 4 = lim x → - 4 ⁡ - x + 4

= - - 4 + 4 = 0

Enfim, o limite lateral bateu para uma constante, então temos um resultado.

Resposta

lim x → - 4 ⁡ x 2 + 8 x + 16 x + 4 = 0

Exercício Resolvido #4

UERJ – Cálculo 1 – Lista de Limites Professor Roger - 6

Calcule o limite:

lim y → - 3 ⁡ y 2 - 9 2 y 2 + 7 y + 3

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Passo 1

Então, estudante, se a gente jogar esse valor na criança vai ficar assim:

lim y → - 3 ⁡ y 2 - 9 2 y 2 + 7 y + 3 = ( - 3 ) 2 - 9 2 ( - 3 ) 2 + 7 ( - 3 ) + 3 = 0 0 = 0 0

Bom, isso significa problema: teremos, então, que achar um jeito de solucionar isso.

Passo 2

Vamos lá, repara o seguinte, se x = - 3 zera os polinômios ali, significa então que ele é uma das raízes desse polinômio, né?

Então, vamos abrir esses polinômios aí para poder simplifica-los. O de cima é fácil, produto notável:

y 2 - 9 = ( y + 3 ) ( y - 3 )

Ok, como era esperado o - 3 é uma das raízes! Para o outro (o de baixo), vamos de Bhaskara:

y = - b ± b 2 - 4 a c 2 a = - ( 7 ) ± ( 7 ) 2 - 4 ( 2 ) ( 3 ) 2 ( 2 ) = - 7 ± 25 4 = - 7 ± 5 4

Assim, as raízes do polinômio serão:

y = - 3           ;           y = - 1 / 2

Dessa maneira, abrindo o polinômio ele fica assim:

2 y 2 + 7 y + 3 = 2 ( y + 3 ) ( y + 1 / 2 )

Passo 3

Reescrevo agora o polinômio todo:

lim y → - 3 ⁡ y 2 - 9 2 y 2 + 7 y + 3 = lim y → - 3 ⁡ ( y + 3 ) ( y - 3 ) 2 y + 3 y + 1 2

Dá para cortar ali né?

lim y → - 3 ⁡ ( y + 3 ) ( y - 3 ) 2 y + 3 y + 1 2 = lim y → - 3 ⁡ ( y - 3 ) 2 y + 1 2

Daí, peixe, é só substituir:

lim y → - 3 ⁡ ( y - 3 ) 2 y + 1 2 = ( - 3 - 3 ) 2 - 3 + 1 2 = ( - 6 ) 2 - 5 / 2 = 6 5

Resposta

lim y → - 3 ⁡ y 2 - 9 2 y 2 + 7 y + 3 = 6 5

Exercício Resolvido #5

Elaboração Própria

Calcule o limite:

lim x → 1 3 ⁡ 3 x 3 - 25 x 2 + 44 x - 12 - 3 x 2 + 7 x - 2

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Passo 1

A gente começa substituindo o limite, certo?

lim x → 1 3 ⁡ 3 x 3 - 25 x 2 + 44 x - 12 - 3 x 2 + 7 x - 2 = 3 1 3 3 - 25 1 3 2 + 44 1 3 - 12 - 3 1 3 2 + 7 1 3 - 2

= 1 9 - 25 9 + 44 3 - 12 - 1 3 + 7 3 - 2 = - 24 9 + 44 3 - 12 6 3 - 2 = - 8 3 + 44 3 - 12 2 - 2

= 36 3 - 12 0 = 0 0

Deu ruim né? Então, vamos tentar usar uma malandragem algébrica.

Passo 2

Zerou em cima e embaixo, o que significa que x - 1 3 vai aparecer na fatoração dos dois termos. Vamos dividí-los por esse termo, o de cima por Briot-Ruffini, o de baixo por Bhaskara.

Começamos com o de baixo:

x = - b ± b 2 - 4 a c 2 a = - 7 ± 49 - 24 2 - 3 = - 7 ± 25 - 6

x = - 7 + 5 - 6 = 1 3       ;       x = - 7 - 5 - 6 = 2

Ou seja, - 3 x 2 + 7 x - 2 = - 3 x - 1 3 x - 2 .

OBS.: Esse - 3 aí veio por que a = - 3 nesse polinômio.

Passo 3

O de cima, dividimos ele por x - 1 3 pelo método de Briot-Ruffini:

Desce o primeiro coeficiente:

Multiplicamos a raiz pelo primeiro e somamos ao segundo:

Repetimos isso para os dois outros números que restam:

Ou seja, 3 x 3 - 25 x 2 + 44 x - 12 = x - 1 3 3 x 2 - 24 x + 36 .

Passo 4

Substituindo no limite:

lim x → 1 3 ⁡ 3 x 3 - 25 x 2 + 44 x - 12 - 3 x 2 + 7 x - 2 = lim x → 1 3 ⁡ x - 1 3 3 x 2 - 24 x + 36 - 3 x - 1 3 x - 2

= lim x → 1 3 ⁡ 3 x 2 - 24 x + 36 - 3 x - 2 = 3 1 3 2 - 24 1 3 + 36 - 3 1 3 - 2 = 1 3 - 8 + 36 - 3 - 5 3

= 1 3 + 28 5 1

Na divisão de 2 frações, repetimos a primeira e multiplicamos pelo inverso da segunda:

= 1 3 + 28 1 5

Aplicando o MMC, achamos que:

= 1 3 + 84 3 1 5 = 85 3 1 5 = 85 15 = 17 3

Resposta

lim x → 1 3 ⁡ 3 x 3 - 25 x 2 + 44 x - 12 - 3 x 2 + 7 x - 2 = 17 3

Exercício Resolvido #6

UFF, Cálculo IA-Lista 5, GMA, 2008-1, Questão 7.

Calcule o limite, se possível. Caso conclua que o limite não existe, justifique.

lim x → 1 ⁡ x 100 - 2 x + 1 x 50 - 2 x + 1  

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Passo 1

Subsituindo o x = 1 você já percebe logo de cara que esse cara vai para uma indeterminação:

lim x → 1 ⁡ x 100 - 2 x + 1 x 50 - 2 x + 1   = 1 100 - 2 1 + 1 1 50 - 2 1 + 1 = 1 - 2 1 + 1 1 - 2 1 + 1 = 0 0

Bom, pra fugir disso a gente precisa fatorar esse cara. Mas calma aí, o bagulho tá elevado a 100 ? Como eu faço isso??

Então, você não faz! Mas nós marotamente faremos algo que vai nos levar ao resultado, através de um padrão na fatoração.

Passo 2

Lembra que a dica para fatorar polinômios de grau maior ou igual a 3 era usar Briot-Ruffini? Vamos lançar desse jeito então, tendo que o valor é C = 1 e temos que dividir os dois polinômios por x - 1 .

Repara ainda, para o polinômio de cima, que teremos + 1 no coeficiente de x 100 , 0 em todos do grau 99 até 2 , - 2 no grau 1 e o ( + 1 ) . Armando para o cara de cima fica assim:

Mesmo esquema, desce o primeiro coeficiente, multiplica ele pela raiz, soma com o próximo coeficiente e assim por diante:

Repara, tem um padrão! Todos com 0 ali vão ter coeficiente 1 ao dividir!

Continuando teremos:

Ou seja, x 100 - 2 x + 1 = ( x - 1 ) ( x 99 + x 98 + x 97 + … + x 2 + x - 1 ) .

Passo 3

Não sei se você já se deu conta, mas para o cara debaixo, com o x 50 , vamos ter a mesma coisa! A diferença nesse caso é que os coeficientes zerados estarão só de 49 até 2 . Briot-Ruffini neles!

Ou seja, x 50 - 2 x + 1 = x - 1 x 49 + x 48 + x 47 + … + x 2 + x - 1

Passo 4

Substituindo no limite, teremos:

lim x → 1 ⁡ x 100 - 2 x + 1 x 50 - 2 x + 1   = lim x → 1 ⁡ x - 1 x 99 + x 98 + x 97 + … + x 2 + x - 1 x - 1 x 49 + x 48 + x 47 + … + x 2 + x - 1

= lim x → 1 ⁡ x 99 + x 98 + x 97 + … + x 2 + x - 1 x 49 + x 48 + x 47 + … + x 2 + x - 1

Rapaz, repara nesse limite que sobrou! Lembra que 1 elevado a qualquer número vai dar 1 ? A gente vai ficar com 99 números 1 em cima e 49 embaixo ao substituir x → 1 , fora os dois - 1 que sobraram ali:

lim x → 1 ⁡ x 99 + x 98 + x 97 + … + x 2 + x - 1 x 49 + x 48 + x 47 + … + x 2 + x - 1 = 1 99 - 1 1 49 - 1

= 99 - 1 49 - 1 = 98 48 = 49 24

Questão trabalhosa e complicadinha, heim?

Resposta

lim x → 1 ⁡ x 100 - 2 x + 1 x 50 - 2 x + 1   = 49 24

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