Limites Laterais e Existência do Limite

Teoria Completa

Limites Laterais

Imagine:

f x = x 2 ,     x < 0 e x ,     x ≥ 0

Veja o que acontece com a função próximo do ponto x = 0 :

Se você tentar aproximar o   x a zero, vamos ter um probleminha. Você pode ver que a função tem tendências diferentes naquele ponto. Pela esquerda, é o x 2 . Pela direita, e x . Daí surge uma pergunta: queremos aproximar por onde? Pela esquerda ou pela direita?

Aí surge a notação dos limites laterais. Se aproximarmos   x para um número   a por valores maiores que a , ou seja, pela direita, estamos tendendo a   a + . Aí usamos a notação com o “ + ”.

lim x → a + ⁡ f x = lim x → 0 + ⁡ e x = e 0 = 1

Da mesma forma, se aproximarmos   x de um número   a por valores menores que a , ou seja, pela esquerda, estamos tendendo a   a - . A usamos a notação com “ - ”.

lim x → a - ⁡ f x = lim x → 0 - ⁡ x 2 = 0 2 = 0

Voltando ao desenho do gráfico, você vai perceber que a tendência do limite quando observarmos pela direita é ir para 1 . Essa tendência pela esquerda será a de ir para 0 .

Agora vai para os exercícios praticar!

Existência do Limite

No exemplo anterior, vimos que os limites laterais não batem!

lim x → a + ⁡ f x = lim x → 0 + ⁡ e x = e 0 = 1

lim x → a - ⁡ f x = lim x → 0 - ⁡ x 2 = 0 2 = 0

Bom, mas se os limites laterais são diferentes, como no exemplo anterior, o que acontece com o limite mesmo, em questão?

lim x → 0 ⁡ f x = ( ? ? ? )

Nesse caso, o limite não existe! Mas, por que?

Existem duas regras que o limite deve seguir para existir:

1 Limites laterais não podem explodir para ± ∞ .

2 Limites laterais devem possuir o mesmo valor.

Apenas quando os limites seguem essas duas condições, podemos afirmar que existem.

No exemplo inicial, os limites laterais não explodem para ± ∞ , respeitando a primeira condição. Porém, eles não convergem para o mesmo valor:

lim x → 0 + ⁡ f x = 1

lim x → 0 - ⁡ f x = 0

Logo o limite não vai existir! De maneira geral, um limite existe se:

lim x → a + ⁡ g x = lim x → a - ⁡ g ( x )

lim x → a ⁡ g x ≠   ± ∞

EXERCÍCIOS, EXERCÍCIOS, EXERCÍCIOS!

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Exercício Resolvido #1

Elaboração própria

Calcule os seguintes limites laterais:

lim x → 6 + ⁡ 3 x - 6                                         lim x → 6 - ⁡ 3 x - 6

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Passo 1

Assim como qualquer resolução de limites, a boa é começar substituindo o x na função do limite, para termos uma ideia do que acontece. Ficaria algo assim:

" 3 6 - 6 " = " 3 0 " = ± ∞

As aspas indicam que a operação não é formalmente válida. Estamos indicando que, quando o denominador se aproxima de zero, a fração tende para o infinito.

Agora, o detalhe é que estamos calculando limites laterais, então falta analisar o comportamento pelos lados do 6 . Repara que ali eu coloquei ± ∞ por que ainda não sei se ao aproximar do 6 eu venho por um número levemente maior ou levemente menor.

Isso faz com que x - 6 resulte em algo um pouquinho maior ou um pouquinho menor que 0 , respectivamente (ou seja, um é positivo e outro negativo).

Passo 2

Faz o seguinte, chuta um número abaixo e outro acima de 6 . Olha o que acontece com 5 e 7 , por exemplo:

lim x → 7 + ⁡ 3 x - 6 = 3 7 - 6 = 3                                         lim x → 5 - ⁡ 3 x - 6 = 3 5 - 6 = - 3

Sacou? Assim, o que acontece é que pelo lado do 5 (atrás do 6) a função se aproxima negativamente e pelo lado do 7 (na frente do 6) se aproxima positivamente.

lim x → 6 + ⁡ 3 x - 6 = + ∞                                       lim x → 6 - ⁡ 3 x - 6 = - ∞

Ainda não acredita? Desenhei aqui o gráfico para os incrédulos:

Resposta

lim x → 6 + ⁡ 3 x - 6 = + ∞                                       lim x → 6 - ⁡ 3 x - 6 = - ∞

Exercício Resolvido #2

Elaboração própria

Resolva o seguinte limite:

lim x → - π 2 - ⁡ sec ⁡ x  

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Passo 1

Vamos, antes de tudo, lembrar o que é sec ⁡ x . A secante é basicamente dada por:

sec ⁡ x = 1 cos ⁡ x    

Passo 2

Dessa forma, substituindo o - π 2 na equação, ficaria assim:

sec ⁡ - π 2 = 1 cos ⁡ - π 2 = 1 0

A gente já tem noção que isso vai dar ± ∞ . Resta saber como estamos nos aproximando de - π 2 .

Passo 3

Pensando nessa análise do sinal, você percebe que a aproximação é feita por trás, ou seja, para valores menores que - π 2 . Vamos dar uma olhada no círculo trigonométrico para matar a charada.

Bom, podemos ver que, quando x está vindo por trás de - π 2   (lembrando que - π 2 = 3 π 2 ), temos cosseno negativo. Dessa forma, podemos dizer que a aproximação se dará para - ∞ . Portanto,

lim x → - π 2 - ⁡ sec ⁡ x   = - ∞

Resposta

lim x → - π 2 - ⁡ sec ⁡ x   = - ∞

Exercício Resolvido #3

UFF, Cálculo IA-Lista 5, GMA, 2008-1, Questão 19.

Calcule os limites laterais de f x = g x s e n ( x ) em x = 0 , se g x = c o s x + 3   ,       x < 0 x ² - 9                       ,           x ≥ 0 .

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Passo 1

Primeiro, vamos escrever como fica a definição de f x :

f x = g x sen ⁡ x = c o s x + 3 sen ⁡ x ,     x < 0 x 2 - 9 sen ⁡ x ,     x ≥ 0

Passo 2

Agora calculamos os seguintes limites laterais, que ele pediu.

Só fica ligado numa coisa: quando x < 0 , ou seja, 0 - , usaremos a primeira expressão para f ( x ) . Quando x ≥ 0 , ou seja, 0 + , usaremos a segunda expressão para f x .

No primeiro limite, vou substituí-lo:

lim x → 0 + ⁡ x 2 - 9 sen ⁡ x = 0 2 - 9 sen ⁡ 0 = - 9 0 = ± ∞

Da mesma forma que o primeiro, vou começar substituindo esse segundo limite lateral também:

lim x → 0 - ⁡ c o s x + 3 sen ⁡ x = c o s 0 + 3 sen ⁡ 0 = 4 0 = ± ∞

Passo 3

Vamos começar no primeiro limite. Nesse caso, vou trazer o círculo trigonométrico para pensarmos sobre o sinal desse “infinito”, se é positivo ou negativo:

Repara que, para valores logo acima de 0 (valores um pouquinho maiores que 0 ), o seno é positivo. Com isso:

lim x → 0 + ⁡ 1 sen ⁡ x = + ∞

Portanto,

lim x → 0 + ⁡ x 2 - 9 sen ⁡ x = lim x → 0 + ⁡ x 2 - 9 lim x → 0 + ⁡ 1 sen ⁡ x = - 9 + ∞ = - ∞

Passo 4

Olhando para o mesmo desenho de antes, vamos reparar que o seno é negativo para valores logo antes de 0 (valores pouco menores que 0 ). Logo,

lim x → 0 - ⁡ 1 sen ⁡ x = - ∞

Portanto,

lim x → 0 - ⁡ c o s x + 3 sen ⁡ x = lim x → 0 - ⁡ c o s x + 3 lim x → 0 - ⁡ 1 sen ⁡ x = 4 - ∞

= - ∞

Resposta

lim x → 0 + ⁡ f x = - ∞

lim x → 0 - ⁡ f x = - ∞

Exercício Resolvido #4

PUC-RJ - Cálculo 1 - P1 2010.1 - 4a

Considere a função f definida pelo gráfico abaixo.

Determine o lim x → a ⁡ f x para a = 0,1 , 2,3 , 4 se existir

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Passo 1

Vamos lembrar um pouco da teoria. Dizemos que um limite tem um certo valor L , se

lim x → a - ⁡ f x = lim x → a + ⁡ f x = L

Então, o que teremos que fazer aqui é verificar os limites laterais em cada ponto.

Passo 2

Vamos começar com o ponto a = 0 . Vemos pelo gráfico que:

lim x → 0 - ⁡ f x = 2