Limites Laterais

Teoria Completa

Fala aí, estamos aqui hoje para batermos um papo sobre limites laterais.

Os limites laterais são uma extensão dos limites. Quando falamos de limites estamos querendo estudar o valor que uma função $f(x)$ qualquer tende quando a variável $x$ tende para um valor conhecido. Por exemplo:

$$\lim_{x\longrightarrow 2}~x^2 = 4$$

Nesse caso, temos que quando o $x$ vai se aproximando do valor $2$ a função $f(x)=x^2$ vai se aproximando do valor $4$.

Mas, dá uma olhada nessa função aqui:

Ela é definida como $x^2$ para valores de $x$ menores que $0$ e definida como $e^x$ para valores de $x$ maiores ou iguais a $0$. O gráfico dela é mais ou menos assim:

Se a gente quiser saber o limite quando $x$ tende a zero, teremos um problema, concorda? Porque se tentarmos aproximar o $x$ de zero pela direita, onde a função tem uma tendência exponencial, encontraremos uma resposta, e se tentarmos aproximar o $x$ de zero pela esquerda, onde a função tem uma tendência quadrática, teremos outra resposta. É daí que surge a pergunta: Queremos aproximar por onde? Pela esquerda ou pela direita?

E essa aproximação pela esquerda ou pela direita é o que chamamos de limite lateral.

Utlizamos uma notação diferente para os limites laterais. Quando queremos aproximar $x$ de um número $a$ vindo por valores maiores que $a$, dizemos que estamos fazendo $x$ tender a $a$ pela direita e representamos por: $x\longrightarrow a^+$. Quando queremos aproximar $x$ de um número $a$ vindo por valores menores que $a$, dizemos que estamos fazendo $x$ tender a $a$ pela esquerda e representamos por: $x\longrightarrow a^-$.

$$\lim_{x\longrightarrow a^+}~f(x)~~~~~~~~~~~~~~~~~~~\lim_{x\longrightarrow a^-}~f(x)$$

Para o nosso exemplo teremos:

$$\lim_{x\longrightarrow 0^+}~f(x)=\lim_{x\longrightarrow 0^+}~e^x=1$$
$$\lim_{x\longrightarrow 0^-}~f(x)=\lim_{x\longrightarrow 0^-}x^2=0$$

Existência do Limite

A existência ou não de um limite está intimamente relacionada com os limites laterais.

No exemplo anterior, nós vimos que os limites pela direita e pela esquerda não eram iguais. Mas, se os limites laterais não são iguais, o que acontece com o limite mesmo, em questão?

$$\lim_{x\longrightarrow 0}~f(x)=?????$$

Nesses casos, o limite NÃO EXISTE.

Mas, porque? Existem duas regrinhas para que o limite exista:

  1. Os limites laterais devem ser iguais;
  2. Os limites laterais não podem "explodir" para o $\infty$.

Apenas quando os limites lateras seguem essas duas regrinhas poderemos afirmar que o limite existe.

No nosso exemplo, os limites laterais não explodem para o $\infty$, obedecendo a regra 2, mas eles não são iguais, o que desobedece a regra 1 e, por isso, o limite não existe.

De maneira geral, o limite existe se:

$$\lim_{x\longrightarrow a^+}~f(x)~=~\lim_{x\longrightarrow a^-}~f(x)$$
$$\lim_{x\longrightarrow a}~f(x)\neq\pm \infty$$

E é isso! 😉

Expandir

Exercício Resolvido #1

Elaboração própria

Calcule os seguintes limites laterais:

lim x → 6 + ⁡ 3 x - 6                                         lim x → 6 - ⁡ 3 x - 6

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Passo 1

Assim como qualquer resolução de limites, a boa é começar substituindo o x na função do limite, para termos uma ideia do que acontece. Ficaria algo assim:

" 3 6 - 6 " = " 3 0 " = ± ∞

As aspas indicam que a operação não é formalmente válida. Estamos indicando que, quando o denominador se aproxima de zero, a fração tende para o infinito.

Agora, o detalhe é que estamos calculando limites laterais, então falta analisar o comportamento pelos lados do 6 . Repara que ali eu coloquei ± ∞ por que ainda não sei se ao aproximar do 6 eu venho por um número levemente maior ou levemente menor.

Isso faz com que x - 6 resulte em algo um pouquinho maior ou um pouquinho menor que 0 , respectivamente (ou seja, um é positivo e outro negativo).

Passo 2

Faz o seguinte, chuta um número abaixo e outro acima de 6 . Olha o que acontece com 5 e 7 , por exemplo:

lim x → 7 + ⁡ 3 x - 6 = 3 7 - 6 = 3                                         lim x → 5 - ⁡ 3 x - 6 = 3 5 - 6 = - 3

Sacou? Assim, o que acontece é que pelo lado do 5 (atrás do 6) a função se aproxima negativamente e pelo lado do 7 (na frente do 6) se aproxima positivamente.

lim x → 6 + ⁡ 3 x - 6 = + ∞                                       lim x → 6 - ⁡ 3 x - 6 = - ∞

Ainda não acredita? Desenhei aqui o gráfico para os incrédulos:

Resposta

lim x → 6 + ⁡ 3 x - 6 = + ∞                                       lim x → 6 - ⁡ 3 x - 6 = - ∞

Exercício Resolvido #2

Elaboração própria

Resolva o seguinte limite:

lim x → - π 2 - ⁡ sec ⁡ x  

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Passo 1

Vamos, antes de tudo, lembrar o que é sec ⁡ x . A secante é basicamente dada por:

sec ⁡ x = 1 cos ⁡ x    

Passo 2

Dessa forma, substituindo o - π 2 na equação, ficaria assim:

sec ⁡ - π 2 = 1 cos ⁡ - π 2 = 1 0

A gente já tem noção que isso vai dar ± ∞ . Resta saber como estamos nos aproximando de - π 2 .

Passo 3

Pensando nessa análise do sinal, você percebe que a aproximação é feita por trás, ou seja, para valores menores que - π 2 . Vamos dar uma olhada no círculo trigonométrico para matar a charada.

Bom, podemos ver que, quando x está vindo por trás de - π 2   (lembrando que - π 2 = 3 π 2 ), temos cosseno negativo. Dessa forma, podemos dizer que a aproximação se dará para - ∞ . Portanto,

lim x → - π 2 - ⁡ sec ⁡ x   = - ∞

Resposta

lim x → - π 2 - ⁡ sec ⁡ x   = - ∞

Exercício Resolvido #3

UFF, Cálculo IA-Lista 5, GMA, 2008-1, Questão 19.

Calcule os limites laterais de f x = g x s e n ( x ) em x = 0 , se g x = c o s x + 3   ,       x < 0 x ² - 9                       ,           x ≥ 0 .

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Passo 1

Primeiro, vamos escrever como fica a definição de f x :

f x = g x sen ⁡ x = c o s x + 3 sen ⁡ x ,     x < 0 x 2 - 9 sen ⁡ x ,     x ≥ 0

Passo 2

Agora calculamos os seguintes limites laterais, que ele pediu.

Só fica ligado numa coisa: quando x < 0 , ou seja, 0 - , usaremos a primeira expressão para f ( x ) . Quando x ≥ 0 , ou seja, 0 + , usaremos a segunda expressão para f x .

No primeiro limite, vou substituí-lo:

lim x → 0 + ⁡ x 2 - 9 sen ⁡ x = 0 2 - 9 sen ⁡ 0 = - 9 0 = ± ∞

Da mesma forma que o primeiro, vou começar substituindo esse segundo limite lateral também:

lim x → 0 - ⁡ c o s x + 3 sen ⁡ x = c o s 0 + 3 sen ⁡ 0 = 4 0 = ± ∞

Passo 3

Vamos começar no primeiro limite. Nesse caso, vou trazer o círculo trigonométrico para pensarmos sobre o sinal desse “infinito”, se é positivo ou negativo:

Repara que, para valores logo acima de 0 (valores um pouquinho maiores que 0 ), o seno é positivo. Com isso:

lim x → 0 + ⁡ 1 sen ⁡ x = + ∞

Portanto,

lim x → 0 + ⁡ x 2 - 9 sen ⁡ x = lim x → 0 + ⁡ x 2 - 9 lim x → 0 + ⁡ 1 sen ⁡ x = - 9 + ∞ = - ∞

Passo 4

Olhando para o mesmo desenho de antes, vamos reparar que o seno é negativo para valores logo antes de 0 (valores pouco menores que 0 ). Logo,

lim x → 0 - ⁡ 1 sen ⁡ x = - ∞

Portanto,

lim x → 0 - ⁡ c o s x + 3 sen ⁡ x = lim x → 0 - ⁡ c o s x + 3 lim x → 0 - ⁡ 1 sen ⁡ x = 4 - ∞

= - ∞

Resposta

lim x → 0 + ⁡ f x = - ∞

lim x → 0 - ⁡ f x = - ∞

Exercício Resolvido #4

PUC-RJ - Cálculo 1 - P1 2010.1 - 4a

Considere a função f definida pelo gráfico abaixo.

Determine o lim x → a ⁡ f x para a = 0,1 , 2,3 , 4 se existir

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Passo 1

Vamos lembrar um pouco da teoria. Dizemos que um limite tem um certo valor L , se

lim x → a - ⁡ f x = lim x → a + ⁡ f x = L

Então, o que teremos que fazer aqui é verificar os limites laterais em cada ponto.

Passo 2

Vamos começar com o ponto a = 0 . Vemos pelo gráfico que:

lim x → 0 - ⁡ f x = 2

lim x → 0 + ⁡ f x = 2

Assim,

lim x → 0 ⁡ f x = 2

Passo 3

Vamos repetir para a = 1 . Mas a função não está definida ali!! Isso não importa, o limite só está interessado na tendência da função e não no valor no ponto. Então, pelo gráfico

lim x → 1 - ⁡ f x = 8

lim x → 1 + ⁡ f x = 8

Assim,

lim x → 1 ⁡ f x = 8

Passo 4

Vamos repetir para a = 2 . Aqui vamos analisar o gráfico com cuidado, porque

lim x → 2 - ⁡ f x = 3

lim x → 2 + ⁡ f x = 6

Pela definição que mostrei lá no passo 1, vemos que os laterais não batem. Então, o limite não existe.

Não existe lim x → 2 ⁡ f x

Passo 5

Vamos para o ponto a = 3 . Vemos pelo gráfico que:

lim x → 3 - ⁡ f x = 1

lim x → 3 + ⁡ f x = 1

Assim,

lim x → 3 ⁡ f x = 1

Passo 6

Por último (ufa!), o ponto a = 4 . Vemos pelo gráfico que:

lim x → 4 - ⁡ f x = 7

lim x → 4 + ⁡ f x = 7

Assim,

lim x → 4 ⁡ f x = 7

Resposta

lim x → 0 ⁡ f x = 2

lim x → 1 ⁡ f x = 8

Não existe lim x → 2 ⁡ f x

lim x → 3 ⁡ f x = 1

lim x → 4 ⁡ f x = 7

Exercício Resolvido #5

James Stewart, Cálculo Vol. 1, 6ª ed. São Paulo: Cengage Learning, 2010. Exercício 12, seção 2.2, página 87

Esboce o gráfico da função a seguir e use-o para determinar os valores de   a para os quais

lim x → a ⁡ f ( x )

existe:

f x = 2 - x x < - 1 x - 1 ≤ x ≤ 1 x - 1 2 x > 1

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Passo 1

Beleza, vamos analisar a função. São 3 intervalos de função. Vamos fazer o seguinte, primeiro desenhar esse negócio aí. Temos a função de primeiro grau 2 - x quando x < - 1 então o gráfico antes de x igual a - 1 vai ser essa reta.

Na parte onde x está entre - 1 e 1 ele vai ser a reta y = x . E quando x > 1 vamos ter a parte da parábola x - 1 2 , o gráfico vai ficar então

- ''

Passo 2

Então, já que a estrutura está montada, vamos olhar no gráfico os pontos onde

lim x → a ⁡ f ( x )

existe, ou seja, onde vale:

lim x → a + ⁡ f ( x ) = lim x → a - ⁡ f ( x )

Passo 3

Cara, conseguimos ver que esses limites existirão para todos   x   em que a função não muda sua lei de formação.

Resumindo, para que o limite lateral seja igual, os pontos teriam que seguir o mesmo padrão dos dois lados ou ter o limite entre os pontos onde trocam-se os regimes de função dando a mesma coisa.

A princípio, todos os pontos fora - 1   e 1   terão limites laterais iguais. Resta saber se esses dois pontos têm limites laterais iguais.

Passo 4

Pelo desenho, vemos que:

lim x → - 1 + ⁡ f x =   lim x → - 1 + ⁡ x = - 1            

lim x → - 1 - ⁡ f x =   lim x → - 1 - ⁡ 2 - x = 3        

lim x → 1 + ⁡ f x =   lim x → 1 + ⁡ x - 1 2 = 0            

lim x → 1 - ⁡ f x =   lim x → 1 - ⁡ x = 1        

Logo, vemos que os pontos - 1   e   1   não têm um limite, já que seus limites laterais são diferentes.

Resposta

a ≠ ± 1

Exercício Resolvido #6

UNICAMP - Cálculo 1 - P1 2015 Noturno - 1 a

Calcule o limite ou prove que não existe:

lim x → 3 2 ⁡ 2 x - 3 2 x - 3

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Passo 1

Vamos analisar primeiro a função de dentro. Abrindo o módulo ficaria assim:

2 x - 3 = - 2 x - 3 ,                     x < 3 2 2 x - 3 ,                         x   ≥ 3 2

Vamos dividir tudo por ( 2 x - 3 ) agora:

2 x - 3 2 x - 3 = - 2 x - 3 2 x - 3 ,                     x < 3 2 2 x - 3 2 x - 3 ,                         x   ≥ 3 2

2 x - 3 2 x - 3 = - 1 ,                     x < 3 2 1 ,                         x   ≥ 3 2

Passo 2

Como queremos o valor em x = 3 2 e a função muda sua lei nesse ponto, devemos analisar os limites laterais. Se forem iguais teremos um resultado. Caso não, saberemos que o limite não existe:

lim x → 3 2 - ⁡ 2 x - 3 2 x - 3 = lim x → 3 2 - ⁡ - 1 = - 1

lim x → 3 2 + ⁡ 2 x - 3 2 x - 3 = lim x → 3 2 + ⁡ 1 = 1

Os limites não batem. Concluímos que lim x → 3 2 ⁡ 2 x - 3 2 x - 3 = ∄

Resposta

O   l i m i t e   n ã o   e x i s t e

Exercício Resolvido #7

Elaboração Própria

Dadas as duas funções abaixo:

Calcule os limites laterais dados abaixo e verifique se o limite existe, comparando os limites laterais:

a lim x → 4 + ⁡ f ( x ) , lim x → 4 - ⁡ f ( x ) , onde: f x = h x . g ( x )

b   lim x → 4 + ⁡ f ( x ) , lim x → 4 - ⁡ f ( x ) , onde: f x = h ∘ g ( x )

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Passo 1

a Bom, vamos primeiro escrever as leis das funções. Vamos começar por h x :

A função h ( x ) é claramente uma função afim com equação:

h x = x

Já que:

h 4 = 4

Já a função g ( x ) é uma função modular bem simples, descrita por:

g x = 2 ,     x ≤ 4 6 ,                 x > 4

Vamos calcular primeiro os limites laterais de h ( x ) por serem mais tranquilos:

lim x → 4 + ⁡ x = 4 = lim x → 4 - ⁡ x = 4

Beleza, como você pode ver, eles são iguais.

A função g ( x ) vai gerar limites laterais diferentes:

lim x → 4 + ⁡ g x = 6

E:

lim x → 4 - ⁡ g x = 2

Show de bola?

Agora o vamos calcular os limites laterais de f ( x ) usando essas informações:

lim x → 4 + ⁡ g x . h x = lim x → 4 + ⁡ g x . lim x → 4 + ⁡ h x

Usamos ali a propriedade do limite de um produto. Agora é só a gente pegar os valores que calculamos:

lim x → 4 + ⁡ g x . h x = 6.4 = 24

E agora:

lim x → 4 - ⁡ g x . h x = lim x → 4 - ⁡ g x . lim x → 4 - ⁡ h x

De novo:

lim x → 4 - ⁡ g x . h x = 2.4 = 8

Show? Então, como os limites laterais são diferentes, o limite:

lim x → 4 ⁡ f x

Não existe.

Passo 2

b Precisamos lembrar que:

f x = h ∘ g x = h g x

Beleza? Vamos usar os valores dos limites laterais do item anterior pra facilitar nossa vida.

Primeiro:

lim x → 4 + ⁡ h g x = h ( lim x → 4 + ⁡ g ( x ) ) = h ( 6 ) = 6

Já que:

h x = x

Da mesma forma:

lim x → 4 - ⁡ h g x = h ( lim x → 4 - ⁡ g ( x ) ) = h ( 2 ) = 2

Como os limites laterais são diferentes, concluímos que:

lim x → 4 ⁡ f ( x )

Não existe.

Resposta

a

lim x → 4 + ⁡ g x . h x = 24

lim x → 4 - ⁡ g x . h x = 8

E o limite não existe.

b

lim x → 4 + ⁡ h g x = 6

lim x → 4 - ⁡ h g x = 2

E o limite não existe.

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