Limites Laterais e Existência do Limite

Teoria Completa

Limites Laterais

Imagine:

f x = x 2 ,     x < 0 e x ,     x ≥ 0

Veja o que acontece com a função próximo do ponto x = 0 :

Se você tentar aproximar o   x a zero, vamos ter um probleminha. Você pode ver que a função tem tendências diferentes naquele ponto. Pela esquerda, é o x 2 . Pela direita, e x . Daí surge uma pergunta: queremos aproximar por onde? Pela esquerda ou pela direita?

Aí surge a notação dos limites laterais. Se aproximarmos   x para um número   a por valores maiores que a , ou seja, pela direita, estamos tendendo a   a + . Aí usamos a notação com o “ + ”.

lim x → a + ⁡ f x = lim x → 0 + ⁡ e x = e 0 = 1

Da mesma forma, se aproximarmos   x de um número   a por valores menores que a , ou seja, pela esquerda, estamos tendendo a   a - . A usamos a notação com “ - ”.

lim x → a - ⁡ f x = lim x → 0 - ⁡ x 2 = 0 2 = 0

Voltando ao desenho do gráfico, você vai perceber que a tendência do limite quando observarmos pela direita é ir para 1 . Essa tendência pela esquerda será a de ir para 0 .

Agora vai para os exercícios praticar!

Existência do Limite

No exemplo anterior, vimos que os limites laterais não batem!

lim x → a + ⁡ f x = lim x → 0 + ⁡ e x = e 0 = 1

lim x → a - ⁡ f x = lim x → 0 - ⁡ x 2 = 0 2 = 0

Bom, mas se os limites laterais são diferentes, como no exemplo anterior, o que acontece com o limite mesmo, em questão?

lim x → 0 ⁡ f x = ( ? ? ? )

Nesse caso, o limite não existe! Mas, por que?

Existem duas regras que o limite deve seguir para existir:

1 Limites laterais não podem explodir para ± ∞ .

2 Limites laterais devem possuir o mesmo valor.

Apenas quando os limites seguem essas duas condições, podemos afirmar que existem.

No exemplo inicial, os limites laterais não explodem para ± ∞ , respeitando a primeira condição. Porém, eles não convergem para o mesmo valor:

lim x → 0 + ⁡ f x = 1

lim x → 0 - ⁡ f x = 0

Logo o limite não vai existir! De maneira geral, um limite existe se:

lim x → a + ⁡ g x = lim x → a - ⁡ g ( x )

lim x → a ⁡ g x ≠   ± ∞

EXERCÍCIOS, EXERCÍCIOS, EXERCÍCIOS!

Expandir

Exercício Resolvido #1

Elaboração própria

Calcule os seguintes limites laterais:

lim x → 6 + ⁡ 3 x - 6                                         lim x → 6 - ⁡ 3 x - 6

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Passo 1

Assim como qualquer resolução de limites, a boa é começar substituindo o x na função do limite, para termos uma ideia do que acontece. Ficaria algo assim:

" 3 6 - 6 " = " 3 0 " = ± ∞

As aspas indicam que a operação não é formalmente válida. Estamos indicando que, quando o denominador se aproxima de zero, a fração tende para o infinito.

Agora, o detalhe é que estamos calculando limites laterais, então falta analisar o comportamento pelos lados do 6 . Repara que ali eu coloquei ± ∞ por que ainda não sei se ao aproximar do 6 eu venho por um número levemente maior ou levemente menor.

Isso faz com que x - 6 resulte em algo um pouquinho maior ou um pouquinho menor que 0 , respectivamente (ou seja, um é positivo e outro negativo).

Passo 2

Faz o seguinte, chuta um número abaixo e outro acima de 6 . Olha o que acontece com 5 e 7 , por exemplo:

lim x → 7 + ⁡ 3 x - 6 = 3 7 - 6 = 3                                         lim x → 5 - ⁡ 3 x - 6 = 3 5 - 6 = - 3

Sacou? Assim, o que acontece é que pelo lado do 5 (atrás do 6) a função se aproxima negativamente e pelo lado do 7 (na frente do 6) se aproxima positivamente.

lim x → 6 + ⁡ 3 x - 6 = + ∞                                       lim x → 6 - ⁡ 3 x - 6 = - ∞

Ainda não acredita? Desenhei aqui o gráfico para os incrédulos:

Resposta

lim x → 6 + ⁡ 3 x - 6 = + ∞                                       lim x → 6 - ⁡ 3 x - 6 = - ∞

Exercício Resolvido #2

Elaboração própria

Resolva o seguinte limite:

lim x → - π 2 - ⁡ sec ⁡ x  

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Passo 1

Vamos, antes de tudo, lembrar o que é sec ⁡ x . A secante é basicamente dada por:

sec ⁡ x = 1 cos ⁡ x    

Passo 2

Dessa forma, substituindo o - π 2 na equação, ficaria assim:

sec ⁡ - π 2 = 1 cos ⁡ - π 2 = 1 0

A gente já tem noção que isso vai dar ± ∞ . Resta saber como estamos nos aproximando de - π 2 .

Passo 3

Pensando nessa análise do sinal, você percebe que a aproximação é feita por trás, ou seja, para valores menores que - π 2 . Vamos dar uma olhada no círculo trigonométrico para matar a charada.

Bom, podemos ver que, quando x está vindo por trás de - π 2   (lembrando que - π 2 = 3 π 2 ), temos cosseno negativo. Dessa forma, podemos dizer que a aproximação se dará para - ∞ . Portanto,

lim x → - π 2 - ⁡ sec ⁡ x   = - ∞

Resposta

lim x → - π 2 - ⁡ sec ⁡ x   = - ∞

Exercício Resolvido #3

UFF, Cálculo IA-Lista 5, GMA, 2008-1, Questão 19.

Calcule os limites laterais de f x = g x s e n ( x ) em x = 0 , se g x = c o s x + 3   ,       x < 0 x ² - 9                       ,           x ≥ 0 .

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Passo 1

Primeiro, vamos escrever como fica a definição de f x :

f x = g x sen ⁡ x = c o s x + 3 sen ⁡ x ,     x < 0 x 2 - 9 sen ⁡ x ,     x ≥ 0

Passo 2

Agora calculamos os seguintes limites laterais, que ele pediu.

Só fica ligado numa coisa: quando x < 0 , ou seja, 0 - , usaremos a primeira expressão para f ( x ) . Quando x ≥ 0 , ou seja, 0 + , usaremos a segunda expressão para f x .

No primeiro limite, vou substituí-lo:

lim x → 0 + ⁡ x 2 - 9 sen ⁡ x = 0 2 - 9 sen ⁡ 0 = - 9 0 = ± ∞

Da mesma forma que o primeiro, vou começar substituindo esse segundo limite lateral também:

lim x → 0 - ⁡ c o s x + 3 sen ⁡ x = c o s 0 + 3 sen ⁡ 0 = 4 0 = ± ∞

Passo 3

Vamos começar no primeiro limite. Nesse caso, vou trazer o círculo trigonométrico para pensarmos sobre o sinal desse “infinito”, se é positivo ou negativo:

Repara que, para valores logo acima de 0 (valores um pouquinho maiores que 0 ), o seno é positivo. Com isso:

lim x → 0 + ⁡ 1 sen ⁡ x = + ∞

Portanto,

lim x → 0 + ⁡ x 2 - 9 sen ⁡ x = lim x → 0 + ⁡ x 2 - 9 lim x → 0 + ⁡ 1 sen ⁡ x = - 9 + ∞ = - ∞

Passo 4

Olhando para o mesmo desenho de antes, vamos reparar que o seno é negativo para valores logo antes de 0 (valores pouco menores que 0 ). Logo,

lim x → 0 - ⁡ 1 sen ⁡ x = - ∞

Portanto,

lim x → 0 - ⁡ c o s x + 3 sen ⁡ x = lim x → 0 - ⁡ c o s x + 3 lim x → 0 - ⁡ 1 sen ⁡ x = 4 - ∞

= - ∞

Resposta

lim x → 0 + ⁡ f x = - ∞

lim x → 0 - ⁡ f x = - ∞

Exercício Resolvido #4

PUC-RJ - Cálculo 1 - P1 2010.1 - 4a

Considere a função f definida pelo gráfico abaixo.

Determine o lim x → a ⁡ f x para a = 0,1 , 2,3 , 4 se existir

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Passo 1

Vamos lembrar um pouco da teoria. Dizemos que um limite tem um certo valor L , se

lim x → a - ⁡ f x = lim x → a + ⁡ f x = L

Então, o que teremos que fazer aqui é verificar os limites laterais em cada ponto.

Passo 2

Vamos começar com o ponto a = 0 . Vemos pelo gráfico que:

lim x → 0 - ⁡ f x = 2

lim x → 0 + ⁡ f x = 2

Assim,

lim x → 0 ⁡ f x = 2

Passo 3

Vamos repetir para a = 1 . Mas a função não está definida ali!! Isso não importa, o limite só está interessado na tendência da função e não no valor no ponto. Então, pelo gráfico

lim x → 1 - ⁡ f x = 8

lim x → 1 + ⁡ f x = 8

Assim,

lim x → 1 ⁡ f x = 8

Passo 4

Vamos repetir para a = 2 . Aqui vamos analisar o gráfico com cuidado, porque

lim x → 2 - ⁡ f x = 3

lim x → 2 + ⁡ f x = 6

Pela definição que mostrei lá no passo 1, vemos que os laterais não batem. Então, o limite não existe.

Não existe lim x → 2 ⁡ f x

Passo 5

Vamos para o ponto a = 3 . Vemos pelo gráfico que:

lim x → 3 - ⁡ f x = 1

lim x → 3 + ⁡ f x = 1

Assim,

lim x → 3 ⁡ f x = 1

Passo 6

Por último (ufa!), o ponto a = 4 . Vemos pelo gráfico que:

lim x → 4 - ⁡ f x = 7

lim x → 4 + ⁡ f x = 7

Assim,

lim x → 4 ⁡ f x = 7

Resposta

lim x → 0 ⁡ f x = 2

lim x → 1 ⁡ f x = 8

Não existe lim x → 2 ⁡ f x

lim x → 3 ⁡ f x = 1

lim x → 4 ⁡ f x = 7

Exercício Resolvido #5

James Stewart, Cálculo Vol. 1, 6ª ed. São Paulo: Cengage Learning, 2010. Exercício 12, seção 2.2, página 87

Esboce o gráfico da função a seguir e use-o para determinar os valores de   a para os quais

lim x → a ⁡ f ( x )

existe:

f x = 2 - x x < - 1 x - 1 ≤ x ≤ 1 x - 1 2 x > 1

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Passo 1

Beleza, vamos analisar a função. São 3 intervalos de função. Vamos fazer o seguinte, primeiro desenhar esse negócio aí. Temos a função de primeiro grau 2 - x quando x < - 1 então o gráfico antes de x igual a - 1 vai ser essa reta.

Na parte onde x está entre - 1 e 1 ele vai ser a reta y = x . E quando x > 1 vamos ter a parte da parábola x - 1 2 , o gráfico vai ficar então

- ''

Passo 2

Então, já que a estrutura está montada, vamos olhar no gráfico os pontos onde

lim x → a ⁡ f ( x )

existe, ou seja, onde vale:

lim x → a + ⁡ f ( x ) = lim x → a - ⁡ f ( x )

Passo 3

Cara, conseguimos ver que esses limites existirão para todos   x   em que a função não muda sua lei de formação.

Resumindo, para que o limite lateral seja igual, os pontos teriam que seguir o mesmo padrão dos dois lados ou ter o limite entre os pontos onde trocam-se os regimes de função dando a mesma coisa.

A princípio, todos os pontos fora - 1   e 1   terão limites laterais iguais. Resta saber se esses dois pontos têm limites laterais iguais.

Passo 4

Pelo desenho, vemos que:

lim x → - 1 + ⁡ f x =   lim x → - 1 + ⁡ x = - 1            

lim x → - 1 - ⁡ f x =   lim x → - 1 - ⁡ 2 - x = 3        

lim x → 1 + ⁡ f x =   lim x → 1 + ⁡ x - 1 2 = 0            

lim x → 1 - ⁡ f x =   lim x → 1 - ⁡ x = 1        

Logo, vemos que os pontos - 1   e   1   não têm um limite, já que seus limites laterais são diferentes.

Resposta

a ≠ ± 1

Exercício Resolvido #6

UNICAMP - Cálculo 1 - P1 2015 Noturno - 1 a

Calcule o limite ou prove que não existe:

lim x → 3 2 ⁡ 2 x - 3 2 x - 3

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Passo 1

Vamos analisar primeiro a função de dentro. Abrindo o módulo ficaria assim:

2 x - 3 = - 2 x - 3 ,                     x < 3 2 2 x - 3 ,                         x   ≥ 3 2

Vamos dividir tudo por ( 2 x - 3 ) agora:

2 x - 3 2 x - 3 = - 2 x - 3 2 x - 3 ,                     x < 3 2 2 x - 3 2 x - 3 ,                         x   ≥ 3 2

2 x - 3 2 x - 3 = - 1 ,                     x < 3 2 1 ,                         x   ≥ 3 2

Passo 2

Como queremos o valor em x = 3 2 e a função muda sua lei nesse ponto, devemos analisar os limites laterais. Se forem iguais teremos um resultado. Caso não, saberemos que o limite não existe:

lim x → 3 2 - ⁡ 2 x - 3 2 x - 3 = lim x → 3 2 - ⁡ - 1 = - 1

lim x → 3 2 + ⁡ 2 x - 3 2 x - 3 = lim x → 3 2 + ⁡ 1 = 1

Os limites não batem. Concluímos que lim x → 3 2 ⁡ 2 x - 3 2 x - 3 = ∄

Resposta

O   l i m i t e   n ã o   e x i s t e

Exercício Resolvido #7

Elaboração Própria

Dadas as duas funções abaixo:

Calcule os limites laterais dados abaixo e verifique se o limite existe, comparando os limites laterais:

a lim x → 4 + ⁡ f ( x ) , lim x → 4 - ⁡ f ( x ) , onde: f x = h x . g ( x )

b   lim x → 4 + ⁡ f ( x ) , lim x → 4 - ⁡ f ( x ) , onde: f x = h ∘ g ( x )

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Passo 1

a Bom, vamos primeiro escrever as leis das funções. Vamos começar por h x :

A função h ( x ) é claramente uma função afim com equação:

h x = x

Já que:

h 4 = 4

Já a função g ( x ) é uma função modular bem simples, descrita por:

g x = 2 ,     x ≤ 4 6 ,                 x > 4

Vamos calcular primeiro os limites laterais de h ( x ) por serem mais tranquilos:

lim x → 4 + ⁡ x = 4 = lim x → 4 - ⁡ x = 4

Beleza, como você pode ver, eles são iguais.

A função g ( x ) vai gerar limites laterais diferentes:

lim x → 4 + ⁡ g x = 6

E:

lim x → 4 - ⁡ g x = 2

Show de bola?

Agora o vamos calcular os limites laterais de f ( x ) usando essas informações:

lim x → 4 + ⁡ g x . h x = lim x → 4 + ⁡ g x . lim x → 4 + ⁡ h x

Usamos ali a propriedade do limite de um produto. Agora é só a gente pegar os valores que calculamos:

lim x → 4 + ⁡ g x . h x = 6.4 = 24

E agora:

lim x → 4 - ⁡ g x . h x = lim x → 4 - ⁡ g x . lim x → 4 - ⁡ h x

De novo:

lim x → 4 - ⁡ g x . h x = 2.4 = 8

Show? Então, como os limites laterais são diferentes, o limite:

lim x → 4 ⁡ f x

Não existe.

Passo 2

b Precisamos lembrar que:

f x = h ∘ g x = h g x

Beleza? Vamos usar os valores dos limites laterais do item anterior pra facilitar nossa vida.

Primeiro:

lim x → 4 + ⁡ h g x = h ( lim x → 4 + ⁡ g ( x ) ) = h ( 6 ) = 6

Já que:

h x = x

Da mesma forma:

lim x → 4 - ⁡ h g x = h ( lim x → 4 - ⁡ g ( x ) ) = h ( 2 ) = 2

Como os limites laterais são diferentes, concluímos que:

lim x → 4 ⁡ f ( x )

Não existe.

Resposta

a

lim x → 4 + ⁡ g x . h x = 24

lim x → 4 - ⁡ g x . h x = 8

E o limite não existe.

b

lim x → 4 + ⁡ h g x = 6

lim x → 4 - ⁡ h g x = 2

E o limite não existe.

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