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Se f x = a x 4 + b x ³ + c x ² + d x + e , determine a ,   b ,   c ,   d   e   e ,   de forma que o gráfico de f tenha um ponto de inflexão em (1,-1), passe pela origem e seja simétrico com respeito ao eixo y.

Passo 1

Para determinar os pontos de inflexão do gráfico, ou seja, o ponto onde a função muda a direção da concavidade, devemos obter a derivada segunda da nossa função:

f x = a x 4 + b x ³ + c x ² + d x + e

f ' x = 4 a x 3 + 3 b x ² + 2 c x + d

f ' ' x = 12 a x ² + 6 b x + 2 c

Uma vez descoberta a derivada segunda, os pontos de inflexão são caracterizados por f ' ' x = 0 .

Passo 2

Já que o gráfico passa pela origem, (0,0):

f 0 = a . 0 4 + b . 0 ³ + c . 0 ² + d . 0 + e = 0

e = 0

Então:

f x = a x 4 + b x ³ + c x ² + d x

Se o gráfico é simétrico:

f x = f - x

a x 4 + b x ³ + c x ² + d x = a ( - x ) 4 + b ( - x ) ³ + c ( - x ) ² + d ( - x )

a x 4 + b x ³ + c x ² + d x = a x 4 - b x 3 + c x 2 - d x

2 b x ³ + 2 d x = 0

Essa igualdade é válida para todo x se b = 0 e d = 0 . Então:

f x = a x 4 + c x ²

f ' x = 4 a x 3 + 2 c x

f ' ' x = 12 a x ² + 2 c

Para o ponto (1,-1):

f 1 = a . 1 4 + c . 1 ² = - 1

a + c = - 1

c = - 1 - a

Pela definição 4.5.5:

f ' ' ( 1 ) = 12 a x 2 + 2 c = 0

12 a + 2 ( - 1 - a ) = 0

a = 1 5

c = - 1 - a = - 1 - 1 5 = - 6 5

Então:

f x = 1 5 x 4 - 6 5 x ²

Resposta

a = 1 5 ,     b = 0 ,     c = - 6 5 ,     d = 0           e           e = 0

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