Enunciado

c) f(x) = x e^(- 2 x)

Passo 1

Para sabermos a concavidade e os pontos de inflexão é necessário derivar duas vezes a função e depois fazer o estudo do sinal. Então vamos lá!

Passo 2

Primeiro, vamos derivar a função:

f´(x) = e^(- 2 x) - 2 x e^(- 2 x) -> f´´(x) = -2 e^(- 2 x) - 2 e^(- 2 x) + 4x e^(- 2 x)

Passo 3

Agora, vamos estudar o sinal da função que encontramos:

f´´(x) = 0 -> 2 e^(- 2 x) (-2 + 2x) = 0 -> x = 1

Logo,

f´´(x) , 1)

f´´(x) > 0 : (1,+ oo )

Com base nisso podemos concluir que a função é côncava para cima no intervalo:

(1,+ oo )

Com base nisso podemos concluir que a função é côncava para baixo no intervalo:

(- oo ,1)

O ponto de inflexão é onde a função muda a sua concavidade, nesse caso é 1

Resposta

côncava para cima no intervalo: ( 1,+ oo )

côncava para baixo no intervalo: ( - oo ,1)

Ponto de inflexão: 1

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