g) y =x / (1 + x^2)

Passo 1

Para sabermos a concavidade e os pontos de inflexão é necessário derivar duas vezes a função e depois fazer o estudo do sinal. Então vamos lá!

Passo 2

Primeiro, vamos derivar a função:

y´ = 1 + x 2 -     2 x 2 1 + x 2 2 y´´ = - 2 x 1 + x 2 2 - 4 x 2 1 + x 2 ( 1 - x 2 ) 1 + x 2 4 = 2 x 3 - 6 x 1 + x 2 3

Passo 3

Agora, vamos estudar o sinal da função que encontramos:

y´´ = 0 2x ( x 2 -   3 ) = 0 x = 0, x = √ 3 e x = - √ 3

Logo,

, - √ 3 ) U ( 0, √ 3 )

y´ > 0 : (- √ 3 , 0) U ( √ 3 , + )

Com base nisso podemos concluir que a função é côncava para cima no intervalo:

(- √ 3 , 0) U ( √ 3 , + )

Com base nisso podemos concluir que a função é côncava para baixo no intervalo:

(- , - √ 3 ) U ( 0, √ 3 )

O ponto de inflexão é onde a função muda a sua concavidade, nesse caso são:

0, √ 3 e - √ 3

Resposta

côncava para cima no intervalo: (- √ 3 , 0) U ( √ 3 , + )

côncava para baixo no intervalo: (- , - √ 3 ) U ( 0, √ 3 )

Pontos de inflexão: 0, √ 3 e - √ 3

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