Enunciado

g) y = (x)/(1 + x^2)

Passo 1

Para sabermos a concavidade e os pontos de inflexão é necessário derivar duas vezes a função e depois fazer o estudo do sinal. Então vamos lá!

Passo 2

Primeiro, vamos derivar a função:

y´ = ((1 + x^2) - 2 x^2)/((1 + x^2)^2) -> y´´ = (- 2 x (1 + x^2)^2 - 4 x^2 (1 + x^2) ( 1 - x^2 ))/((1 + x^2)^4) = (2 x^3 - 6 x)/((1 + x^2)^3)

Passo 3

Agora, vamos estudar o sinal da função que encontramos:

y´´ = 0 -> 2x ( x^2 - 3 ) = 0 -> x = 0, x = √ 3 e x = - √ 3

Logo,

, - √ 3 ) U ( 0, √ 3 )

y´ > 0 : (- √ 3 , 0) U ( √ 3 , + oo )

Com base nisso podemos concluir que a função é côncava para cima no intervalo:

(- √ 3 , 0) U ( √ 3 , + oo )

Com base nisso podemos concluir que a função é côncava para baixo no intervalo:

(- oo , - √ 3 ) U ( 0, √ 3 )

O ponto de inflexão é onde a função muda a sua concavidade, nesse caso são:

0, √ 3 e - √ 3

Resposta

côncava para cima no intervalo: (- √ 3 , 0) U ( √ 3 , + oo )

côncava para baixo no intervalo: (- oo , - √ 3 ) U ( 0, √ 3 )

Pontos de inflexão: 0, √ 3 e - √ 3

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Em cada parte, esboce o gráfico de uma função f com as propriedades indicadas e discuta os sinais de f ' e f ' ' (a) A função f é côncava para cima e crescente no intervalo ( - ∞ , + ∞ )
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Em cada parte, esboce o gráfico de uma função f com as propriedades indicadas e discuta os sinais de f ' e f ' ' (c) A função f é côncava para cima e decrescente no intervalo ( - ∞ , + ∞ )
É dada uma tabela de sinais para as derivadas primeira e segunda de uma função. f . Supondo que f seja contínua em toda parte, encontre: (a) os intervalos em que f é crescente, (b) os intervalos em qu
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