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Ache os extermos relativos da função dada usando o teste da derivada segunda, uando aplicável. Quando ele não for aplicável, use o teste da derivada primeira.

Use a derivada segunda para encontrar os pontos de inflexão do gráfico da função e determine onde o gráfico é côncavo para cima e onde é para baixo. Faça um esboço do gráfico.

F x = 6 x 1 3 - x 2 3

Passo 1

Vamos começar achandos os pontos críticos da função. Porque eles são os candidatos a extremo. Para isso vamos pegar a derivada de F x

F ' x = 6   1 3 x 1 3 - 1 - 2 3 x 2 3 - 1

F ' x = 2 x - 2 3 - 2 3 x - 1 3

Os pontos crítos são aqueles que a derivada é 0 ou não existe. Como chegamos em um expoente negativo, a derivada não vai existir quando o x = 0 .

Isso porque:

x - 2 3 = 1 x 2 3

Ai, quando x = 0 o denominador é 0

Passo 2

Vamos para os outros pontos críticos, que é quando a derivada é 0 .

F ' x = 0 → 2 x - 2 3 - 2 3 x - 1 3 = 0

Fazendo:

x - 2 3 = 1 x 2 3

E

x - 1 3 = 1 x 1 3

Vamos ter:

2 x 2 3 - 2 3 x 1 3 = 0

2 x 2 3 = 2 3 x 1 3

Multiplicando cruzado

6 x 1 3 = 2 x 2 3

Simplificando por 2

3 x 1 3 = x 2 3

Elevando ao cubo

27 x = x 2

x 2 - 27 x = 0

x x - 27 = 0

x = 0 ,     o u ,     x = 27

Esses são os nosso pontos críticos.

Quando não existe a derivada:

x = 0

Quando a derivada é 0 :

x = 27

Passo 3

Agora, vamos tentar aplicar o teste da segunda derivada, que vai ser exatamente o que está aqui embaixo, mas só vale para os pontos críticos

F ' ' x < 0 ⇒ M á x i m o F ' ' x > 0 ⇒ M í n i m o

Se F ' ' x = 0 ou não existir, não funciona o teste.

Vamos ter

F ' ' x = 2 - 2 3 x - 2 3 - 1 - 2 3 - 1 3 x - 1 3 - 1

F ' ' x = - 4 3 x - 5 3 + 2 9 x - 4 3

Vamos simplificar a expressão colocando 2 3 x - 5 3 em evidência

F ' ' x = 2 3 x - 5 3 - 2 + 1 3 x 1 3

Temos que ver o valor de F ' ' x para x = 0 e x = 27

Aqui, apareceu novamente o expoente negativo, então a segunda derivada não existe em x = 0 .

Vamos testar só o 3 .

F ' ' 3 = 2 3 27 - 5 3 - 2 + 1 3 3 1 3

Aquele 1 3 no expoente é o mesmo que 27 3 = 3 , então temos:

F ' ' 3 = 2 3 27 - 5 3 - 2 + 3 3 = 2 3 27 - 5 3 - 2 + 1 = - 2 3 27 - 5 3 < 0

Logo x = 27 é ponto de máximo relativo

Passo 4

Vamos aplicar o teste da primeira derivada em x = 0

F ' x = 2 x - 2 3 - 2 3 x - 1 3

Basicamente, precisamos saber como é a variação de sinal em torno do 0 , organizando isso, colocando 2 x - 2 3 em evidência

F ' x = 2 x - 2 3 1 - 1 3 x 1 3

Já vimos no passo anterior que:

x 1 3 = x 3

Então, quando x for negativo, vamos ter:

1 - 1 3 x 1 3 > 0

Isso porque x 3 vai ser negativo e multiplicando por - 1 3 vai dar positivo. Somando com 1 , continua positivo.

Quando x for positivo vamos ter

1 - 1 3 x 1 3 > 0

Isso porque só estamos interessados perto do 0 , então aquele termo negativo, continua negativo mas bem pequeno, quando subtrair de 1 não tira muito, fazendo ser perto de 1 > 0

Como não temos troca de sinal, vamos ter que esse ponto não é extremo.

Passo 5

Vamos agora para a concavidade

F ' ' x = 2 3 x - 5 3 - 2 + 1 3 x 1 3

Vamos analisar direto os sinais dessa função para achar a concavidade e de quebra os pontos de inflexão.

Temos o seguinte quadro de sinais de F ' ' x :

Então, a função é côncava para cima para valores menores que 0 e maiores que 216 , e côncava para baixo entre 0 e 216 .

Assim os pontos de inflexão são:

x = 0

E

x = 216

Passo 6

Vamos organizar as informações para o nosso gráfico:

Máximo relativo:

x = 27

Pontos de inflexão:

x = 0

x = 216

Concava para cima:

x < 0   e   x > 216

Concava para baixo

0 < x < 216

O esboço vai ficar:

Resposta

Máximo relativo:

x = 27

Pontos de inflexão:

x = 0

x = 216

Concava para cima:

x < 0   e   x > 216

Concava para baixo

0 < x < 216

O esboço vai ficar:

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