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Se r t = ( t ,   t 2 , t 3 ) , encontre r ' t ,   T 1 ,   r ' ' ( t ) e r ' ( t ) × r ' ' ( t ) .

Passo 1

A derivada r ' ( t ) da função vetorial r ( t ) é obtida derivando-se seus componentes:

r ' t = ( 1 ,   2 t ,   3 t 2 )

A segunda derivada, por sua vez, é obtida derivando-se a primeira derivada. Logo, temos:

r ' ' t = ( 0 ,   2 ,   6 t )

Passo 2

O vetor tangente unitário em t = 1 da função vetorial é dado por

T 1 = r ' 1 r ' 1

Por isso vamos calcular r ' ( 1 ) , bastando para isso, substituir t = 1 no vetor obtido no primeiro passo.

r ' 1 = ( 1 ,   2 ,   3 )

O módulo do vetor acima pode ser calculado facilmente como mostrado a seguir:

r ' 1 = 1 2 + 2 2 + 3 2

r ' 1 = 14

Agora já podemos calcular T ( 1 ) :

T 1 = 1 r ' 1 ⋅ r ' ( 1 )

T 1 = 1 14 ⋅ ( 1 ,   2 ,   3 )

T 1 = ( 1 14 , 2 14 , 3 14 )

Passo 3

Com base nos resultados do Passo 1 podemos calcular o produto vetorial r ' ( t ) × r ' ' ( t ) .

r ' t × r ' ' t = i j k 1 2 t 3 t 2 0 2 6 t

= 2 t 3 t 2 2 6 t   i - 1 3 t 2 0 6 t   j + 1 2 t 0 2   k

= 12 t 2 - 6 t 2 i - 6 t - 0 j + 2 - 0 k

= 6 t 2   i - 6 t   j + 2   k

Resposta

r ' t = ( 1 ,   2 t ,   3 t 2 )

T 1 = ( 1 14 , 2 14 , 3 14 )

r ' ' t = ( 0 ,   2 ,   6 t )

r ' t × r ' ' t = 6 t 2   i - 6 t   j + 2   k

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