Enunciado

Se g x = 1 - x 3 , encontre g ' ( 0 ) e use-o para encontrar uma equação da reta tangente à curva y = 1 - x 3 no ponto ( 0,1 )

Passo 1

Fala aí, queridas e queridos! Vamos olhar essa questão com carinho. Ela pede duas coisas pra gente.

Primeiro ela pede pra calcularmos a derivada da função g x = 1 - x 3 em um ponto específico. Vamos fazer isso usando essa relação aqui:

g ' a = lim h → 0 ⁡ g a + h - g a h

Depois disso, precisamos usar a derivada que encontramos pra encontrar a reta tangente à curva da nossa função naquele mesmo ponto. Pra isso, vamos usar essa outra relação:

y - y 0 = m ⋅ ( x - x 0 )

Preocupa não. Vamos ver direitinho como usar esses caras. Vem com a gente!

Passo 2

Primeiramente, vamos encontrar g ' ( 0 ) . Lembrando que vamos usar a relação:

g ' a = lim h → 0 ⁡ g a + h - g a h

Queremos calcular a derivada no ponto x = 0 , então temos:

g 0 = 1 - 0 3 = 1

g 0 + h = 1 - 0 + h 3 = 1 - h 3

Apicando esses valores na relação da derivada, temos:

lim h → 0 ⁡ g 0 + h - g 0 h = lim h → 0 ⁡ 1 - h 3 - 1 h

Simplificando a expressão, temos:

lim h → 0 ⁡ 1 - h 3 - 1 h = lim h → 0 ⁡ h 3 h = lim h → 0 ⁡ h 2

Aplicando o limite, temos:

g ' 0 = lim h → 0 ⁡ h 2 → g ' 0 = 0

Passo 3

Agora que temos o valor da derivada, vamos encontrar a equação da reta tangente utilizando a relação:

y - y 0 = m ⋅ ( x - x 0 )

Os parâmetros x 0 e y 0 são as coordenadas de um ponto por onde a nossa reta passa. Nesse caso, sabemos que ela passa pelo ponto ( 0,1 ) . Então temos que:

x 0 = 0

y 0 = 1

O parâmetro m representa a inclinação da reta. Nesse caso, sabemos que a inclinação da reta tangente deve ser igual ao valor da derivada que calculamos. Ou seja:

m = g ' 0 → m = 0

Aplicando os valores na nossa expressão, temos:

y - 1 = 0 ⋅ ( x - 0 )

y = 1

Boa! Conseguimos!

Se liga que a reta tangente é uma reta horizontal.

Resposta

y = 1

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