Enunciado

Encontre uma equação da reta tangente à curva em cada um dos pontos dados. Faça um esboço do gráfico e inclua segmento de retas tangentes nos pontos dados.

y = 6 - 2 x 1 / 3 ;       - 1 ,   2 ,   1 ,   4 3 ,   3 ,   0 ,   5 ,   - 4 3 ,   ( 7 ,   - 2 )

Passo 1

A questão pede para encontrarmos a equação da reta tangente à curva y = f x = 6 - 2 x 1 / 3 em diversos pontos. Vale lembrar que a equação da reta tangente que passa por um ponto ( x 0 ,   y 0 ) é dada por

y - y 0 = f ' x 0   ( x - x 0 )

Assim, vamos encontrar primeiro f ' ( x ) :

f ' x = 1 3 6 - 2 x - 2 / 3 ⋅ 6 - 2 x ' = - 2 3   6 - 2 x 2 3

Passo 2

Para o ponto ( - 1 ,   2 ) , temos que

f ' x 0 = f ' - 1 = - 2 3   8 2 3 = - 2 3 ⋅ 4 = - 1 6

Assim, a equação da reta será

y - 2 = - 1 6 x - - 1

Portanto,

y - 2 = - 1 6 ( x + 1 )

Ilustramos isso na figura a seguir:

Passo 3

Já para o ponto 1 ,   4 3 , temos que

f ' x 0 = f ' 1 = - 2 3 4 2 3 = - 1 3 2 3 = - 4 3 6

Assim,

y - 4 3 = - 4 3 6   ( x - 1 )

A reta tangente é mostrada na figura:

Passo 4

Note que para x = 3 o denominador da derivada se anula, isto é, a função não é derivável nesse ponto e sendo assim, não admite reta tangente.

Já para o ponto 5 ,   - 4 3 , temos que

f ' x 0 = f ' 5 = - 2 3 - 4 2 3 = - 1 3 2 3 = - 4 3 6

Assim,

y + 4 3 = - 4 3 6 ( x - 5 )

Passo 5

Por fim, no ponto ( 7 ,   - 2 ) , temos que

f ' x 0 = f ' 7 = - 2 3 8 2 3 = - 1 6

Assim,

y + 2 = - 1 6 ( x - 7 )

Resposta

Esboço de gráficos.

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