Enunciado

Encontre uma equação da reta tangente à curva em cada um dos pontos dados. Faça um esboço do gráfico e inclua segmento de retas tangentes nos pontos dados.

y = 2 x - 2 2 / 3 ;       - 3 ,   4 ,   0 ,   4 3 ,   1 ,   0 ,   2 ,   4 3 ,   ( 5 ,   4 )

Passo 1

A questão pede para encontrarmos a equação da reta tangente à curva y = f x = 2 x - 2 2 / 3 em diversos pontos. Vale lembrar que a equação da reta tangente que passa por um ponto ( x 0 ,   y 0 ) é dada por

y - y 0 = f ' x 0   ( x - x 0 )

Assim, vamos encontrar primeiro f ' ( x ) :

f ' x = 2 3 2 x - 2 - 1 3 ⋅ 2 x - 2 ' = 4 3   2 x - 2 3

Passo 2

Para o ponto ( - 3 ,   4 ) , temos que

f ' x 0 = f ' - 3 = 4 3   - 8 3 = 4 - 6 = - 2 3

Assim, a equação da reta será

y - 4 = - 2 3 x - - 3

Portanto,

y - 4 = - 2 3 ( x + 3 )

Ilustramos isso na figura a seguir:

Passo 3

Já para o ponto 0 ,   4 3 , temos que

f ' x 0 = f ' 0 = 4 3 - 2 3 = - 4 3 2 3 ⋅ 4 3 4 3 = - 2 4 3 3

Assim,

y - 4 3 = - 2 4 3 3   x

A reta tangente é mostrada na figura:

Passo 4

Note que para x = 1 o denominador da derivada se anula, isto é, a função não é derivável nesse ponto e sendo assim, não admite reta tangente.

Já para o ponto 2 ,   4 3 , temos que

f ' x 0 = f ' 2 = 4 3 2 3 ⋅ 4 3 4 3 = 2 4 3 3

Assim,

y - 4 3 = 2 4 3 3 ( x - 2 )

Passo 5

Por fim, no ponto ( 5 ,   4 ) , temos que

f ' x 0 = f ' 5 = 4 3   8 3 = 2 3

Assim,

y - 4 = 2 3 ( x - 5 )

Resposta

Esboço de gráficos.

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