Enunciado

Cálculo - Cálculo Volume 1 - 6ª Edição - James Stewart - Capítulo 1.6 - Ex. 52b

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Resolva as equações em x .

(a) e 2 - 3 x > 4

Passo 1

Antes de começar as etapas para resolver essa inequação, vamos lembrar a definição de logaritmo:

y = b x ⇔ x = log b ⁡ y

Passo 2

Além da definição de logaritmo, para resolver a inequação, precimos saber como essa definição se comporta em desigualdades, e aí, vamos usar a propriedade: Uma função do tipo f x = a x é crescente quando a > 1 e decrescente quando a < 1 . Por isso:

1ª situação) b x > y ⇔ x > log b ⁡ y b x < y ⇔ x < log b ⁡ y para b > 1

2ª situação) b x > y ⇔ x < log b ⁡ y b x < y ⇔ x > log b ⁡ y para b < 1

Passo 3

Agora que temos as propriedades em mãos, para simplificar a resolução, vamos substituir o termo 2 - 3 x por u , ou seja:

u = 2 - 3 x

E portanto:

e u > 4

Passo 4

Agora, com essa nova inequação em u , vamos utilizar as propriedades abordadas no Passo 2 para isolar u . Como e = 2,7182 … , esse caro se encaixa na 1ª situação do Passo 2, portanto:

e u > 4   ⇔ u > log e ⁡ 4 = ln ⁡ 4

Passo 5

Agora que u foi isolado, podemos resgatar aquele termo em x , aí a gente com isso:

u = 2 - 3 x

2 - 3 x > ln ⁡ 4

Passo 6

E pra finalizar, batsa resolver essa inequação de primeiro grau:

2 - 3 x > ln ⁡ 4

2 - ln ⁡ 4 > 3 x

x < 2 - ln ⁡ 4 3

Resposta

x < 2 - ln ⁡ 4 3

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