Enunciado

r = 12 3 - 10 cos ⁡ θ

(a) Encontre a excentricidade,

(b) identifique a cônica,

(c) dê uma equação da diretriz e

(d) esboce a cônica

Passo 1

(a) Beleza, pessoal? Pra encontrar a excentricidade, vamos comparar a equação do enunciado com a seguinte equação geral de cônicas:

r = e d 1 - e   c o s   θ             e               r = 12 3 - 10 cos ⁡ θ

Pra podermos comparar termo a termo, vamos dar uma ajeitadinha na nossa equação:

r = 12 3 - 10 cos ⁡ θ

r = 4 1 - 10 3 cos ⁡ θ

Agora sim!

r = e d 1 - e   c o s   θ             e               r = 4 1 - 10 3 cos ⁡ θ

Comparando somente os denominadores, vemos que o termo que acompanha c o s   θ é:

e = 10 3

Passo 2

(b) Pra identificar a cônica, analisamos a excentricidade. Como e = 10 3 > 1   , então a cônica é uma hipérbole.

Passo 3

(c) Como a equação da cônica tem “ - e   c o s   θ ” , a reta diretriz é da seguinte forma:

x = - d

Show! Agora só falta descobrir quem é d , e isso a gente faz comparando os numeradores:

e d = 4

d = 4 e = 4 10 3 = 1 2 10 = 6 5

Então, a equação da reta diretriz fica assim:

x = - 6 5

Passo 4

(d) Beleza! Agora vamos fazer uma esboço da cônica, pra você ver que realmente é uma hipérbole.

Resposta

(a) e = 10 3  

(b) Hipérbole

(c) x = - 6 5

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