Enunciado

r = 8 4 + 5   s e n   θ

(a) Encontre a excentricidade,

(b) identifique a cônica,

(c) dê uma equação da diretriz e

(d) esboce a cônica

Passo 1

(a) Beleza, galera? Pra encontrar a excentricidade, vamos comparar a equação do enunciado com a seguinte equação geral de cônicas:

r = e d 1 + e   s e n   θ             e               r = 8 4 + 5   s e n   θ

Pra podermos comparar termo a termo, vamos dar uma ajeitadinha na nossa equação:

r = 8 4 + 5   s e n   θ

r = 2 1 + 5 4 sen ⁡ θ

Agora sim!

r = e d 1 + e   s e n   θ             e               r = 2 1 + 5 4 sen ⁡ θ

Comparando somente os denominadores, vemos que o termo que acompanha s e n   θ é:

e = 5 4

Passo 2

(b) Pra identificar a cônica, analisamos a excentricidade. Como e = 5 4 > 1   , então a cônica é uma hipérbole.

Passo 3

(c) Agora, como a equação da cônica tem “ + e   s e n   θ ” , a reta diretriz é da seguinte forma:

y = + d

Show! Agora só falta descobrir quem é d , e isso a gente faz comparando os numeradores:

e d = 2

d = 2 e = 2 5 4 = 8 5

Então, a equação da reta diretriz fica assim:

y = 8 5

Passo 4

(d) Show! Agora vamos fazer uma esboço da cônica, pra você ver que é mesmo uma hipérbole.

Resposta

(a) e = 5 4  

(b) Hipérbole

(c) y = 8 5  

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A partir da Figura 19 parece que a limaçon perde sua covinha quando c = 1 2 . Demonstre isto.
A figura mostra o gráfico de r como uma função de θ em coordenadas cartesianas. Use-o para esboçar a curva polar correspondente.
No Exemplo 11 os gráficos sugerem que a limaçon r = 1 + c sen ⁡ θ tem um laço interno quando c1 . Demonstre que isso é verdadeiro e encontre os valores de θ que correspondam ao laço interno.
Mostre que a curva r = 2 - cossec ⁡ θ (também uma conchoide) tem a reta y = - 1 como uma assíntota horizontal mostrando que lim r → ± ∞ ⁡ y = - 1 . Use esse fato para ajudar a esboçar a conchoide.
Mostre que a curva r = sen ⁡ θ tg ⁡ θ (denominada cissoide de Diocles) tem a reta x = 1 como uma assíntota vertical. Mostre também que a curva está inteiramente dentro da faixa vertical0 ≤ x ≤ 1 . Use