Enunciado

Ache o valor exato da quantidade dada.

tan (arctan (3)/(4) - a r c s e n (1)/(2))

Passo 1

A questão pede para calcularmos o valor das expressões. Como sabemos que

a r c s e n (1)/(2) = (pi)/(6)

Segue que

tan (arctan (3)/(4) - a r c s e n (1)/(2)) = tan (arctan (3)/(4) - (pi)/(6))

Você vai precisar lembrar também da fórmula da tangente da diferença:

tan ( a - b ) = (tan a - tan b)/(1 + tan a tan b)

Neste caso, temos a = arctan (3)/(4) e b = pi // 6 . Já sabemos então que

tan b = tan (pi)/(6) = (sqrt(3))/(3)

Passo 2

Para acharmos tan a , basta fazer

tan a = tan (arctan (3)/(4)) = (3)/(4)

Assim,

tan (a - b) = ((3)/(4) - (sqrt(3))/(3))/(1 + (3)/(4) * (sqrt(3))/(3)) = ((9 - 4 sqrt(3))/(12))/((12 + 3 sqrt(3))/(12))

Desta forma,

tan (arctan (3)/(4) - a r c s e n (1)/(2)) = tan (a - b) = (9 - 4 sqrt(3))/(12 + 3 sqrt(3))

Resposta

(9 - 4 sqrt(3))/(12 + 3 sqrt(3))

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