Enunciado

( a ) Demonstre a parte 3 do teorema 4 .

( b ) Demonstre a parte 5 do teorema 4 .

Passo 1

Bom galera, a parte 3 do teorema 4 diz que se f e g forem contínuas em a e se c for uma constante, a seguinte função também é contínua em a

c f

Para demonstrar que isso é verdade, utilizaremos o seguinte limite

lim x → a ⁡ f x = f ( a )

Temos assim

lim x → a ⁡ c f x = c f x

c   lim x → a ⁡ f x = c f ( a )

Dessa forma, a função c f também é contínua em a .

Passo 2

A parte   5 do teorema 4 diz que se f e g forem contínuas em a e se c for uma constante, a seguinte função também é contínua em a

f g   s e   g a ≠ 0

Para demonstrar que isso é verdade, utilizaremos os seguintes limites

lim x → a ⁡ f x = f ( a )   e   lim x → a ⁡ g x = g ( a )

Se g ( a ) ≠ 0 , então temos que

lim x → a ⁡ f g x = lim x → a ⁡ f x g x

Assim, temos que

lim x → a ⁡ f ( x ) lim x → a ⁡ g ( x ) = f ( a ) g ( a ) = f g ( a )

Dessa forma, a função f g também é contínua em a

Resposta

As partes 3 e 5 do teorema 4 foram provadas utilizando os seguintes limites lim x → a ⁡ f x = f ( a )   e   lim x → a ⁡ g x = g ( a )   s e   g ( a ) ≠ 0

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