Enunciado

Considere y como variável independente e x como variável dependente e use a derivação implícita para encontrar d x / d y .

x 4 y 2 - x 3 y + 2 x y 3 = 0

Passo 1

Olá, meu nobre amigo. Yuri aqui e estarei te ajudando a resolver essa atividade.

Aqui a questão nos pede para derivarmos implicitamente.

Dessa vez não é y que é dado como função de x , é contrário!!! x é dado implicitamente como função de y . Então devemos derivar implicitamente com relação a y e lembrar que f x ' = f ' x ⋅ x ' , onde x ' = d x / d y .

Passo 2

Derivando a equação implicitamente, deveremos aplicar a regra do produto:

d u v d x = u ∙ d v d x + v ∙ d u d x

( 4 x 3 ⋅ x ' ⋅ y 2 + x 4 ⋅ 2 y ) - ( 3 x 2 ⋅ x ' ⋅ y - x 3 ⋅ 1 ) + ( 2 ⋅ x ' ⋅ y 3 + 2 x ⋅ 3 y 2 ) = 0

Então,

4 x 3 y 2 x ' + 2 x 4 y - 3 x 2 y x ' - x 3 + 2 y 3 x ' + 6 x y 2 = 0

Passo 3

Isolando x '

x '   4 x 3 y 2 - 3 x 2 y + 2 y 3 = x 3 - 2 x 4 y - 6 x y 2

x ' = x 3 - 2 x 4 y - 6 x y 2 4 x 3 y 2 - 3 x 2 y + 2 y 3 = x   ( x 2 - 2 x 3 y - 6 y 2 ) y   ( 4 x 3 y - 3 x 2 + 2 y 2 )

Resposta

R: x ' = x   ( x 2 - 2 x 3 y - 6 y 2 ) y   ( 4 x 3 y - 3 x 2 + 2 y 2 )

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