Enunciado

Cálculo - Cálculo - 12ª Edição - Maurice D. Weir e Joel Hass (George B. Thomas) - Capítulo 6.3 - Ex. 20

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desse livro

a ) Determine uma curva que passa pelo ponto 0 , 1 , cuja integral do comprimento seja

L = ∫ 1 2 1 + 1 y 4 d y

b ) Quantas curvas desse tipo existem? Justifique sua resposta.

Passo 1

Para calcularmos o comprimento da curva, devemos usar a fórmula para o comprimento.

Como temos uma função de y , a fórmula vai ser:

L = ∫ a b 1 + f ' y 2 d y

Entao precisamos de duas coisas, o intervalo de intergração, que ele deu no enunciado, e a derivada, em y , da f y , que é a função do enunciado.

Comparando com a fórmula que ele deu no enunciado:

L = ∫ 1 2 1 + 1 y 4 d y

Vamos ter:

1 + f ' y 2 = 1 + 1 y 4

Dessa forma:

f ' y 2 = 1 y 4

Tirando a raiz:

f ' y = ± 1 y 2

Teremos duas possibilidades para a derivada:

f ' y = 1 y 2

E

f ' y = - 1 y 2

Para acharmos a f y , temos uqe integral cada uma dessas possibilidades

Passo 2

Primeiro, vamos ver a integral indefinida:

f y = ∫ 1 y 2 d x = ∫ y - 2 d y = y - 1 - 1 + C = - y - 1 + C

Logo

f y = - y - 1 + C

Passo 3

Usando o ponto inicial que ele deu, 0 , 1 , para achar C , vamos ter:

f 1 = - 1 - 1 + C

0 = - 1 + C

C = 1

Logo uma das funções é

f y = - y - 1 + 1

Sabemos o inicio dela, que é em 0 , 1 , falta ver o final, que é quando y = 2 . Tiramos isso pelo limite de integração:

f 2 = - 2 - 1 + 1 = - 1 2 + 1 = 1 2

Então é a curva de equação

f y = - y - 1 + 1

Indo de 0 , 1 até 1 2 , 2

Passo 4

Agora, vamos ver a integral indefinida da outra possibilidade:

f y = ∫ - 1 y 2 d x = - ∫ y - 2 d y = - y - 1 - 1 + C = y - 1 + C

Logo

f y = y - 1 + C

Passo 5

Usando o ponto inicial que ele deu, 0 , 1 , para achar C , vamos ter:

f 1 = 1 - 1 + C

0 = 1 + C

C = - 1

Logo uma das funções é

f y = y - 1 - 1

Sabemos o inicio dela, que é em 0,1 , falta ver o final, que é quando y = 2 . Tiramos isso pelo limite de integração:

f 2 = 2 - 1 - 1 = 1 2 - 1 = - 1 2

Então é a curva de equação

f y = y - 1 - 1

Indo de 0,1 até - 1 2 , 2

Passo 6

Encontramos duas curvas

Resposta

Curva 1

f y = - y - 1 + 1

Indo de 0,1 até 1 2 , 2

Curva 2

f y = y - 1 - 1

Indo de 0,1 até - 1 2 , 2

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