Enunciado

25. Uma barra L cm de comprimento e o centro de massa da barra está num ponto a 3 4 L do extremo esquerdo. Se a medida da densidade linear num ponto for proporcional a uma potência da medida da distância do ponto ao extremo esquerdo e a densidade linear no extremo direito for 20 g/cm, ache a densidade linear num ponto a x cm do extremo esquerdo. A massa é em gramas.

Passo 1

Vamos dar uma olhada na definição de densidade linear e calcular.

Passo 2

A definição 6.4.1 nos diz o seguinte:

M = l i m ∆ → 0 ∑ i = 1 n ρ ξ i   ∆ i x = ∫ 0 L ρ x d x

L é o comprimento da barra

M é a massa total da barra

ρ é a densidade linear

Passo 3

Precisamos escrever ρ em função de x , podemos fazer assim:

ρ x = k x n

Calma, é assim que enunciado sugere, k é uma constante de proporcionalidade.

Com isso escrevemos a densidade linear ao longo da barra

Passo 4

A densidade no fim da barra é ρ x = ρ L = 20

Então:

20 = k L n

k = 20 L n

Substituindo em ρ x :

ρ x = 20 L n x n

Passo 5

Vamos colocar na fórmula:

M = ∫ 0 L ρ x d x

Já escrevemos ρ x , então...

M = ∫ 0 L 20 L n x n d x = 20 L n x n + 1 n + 1 0 L = 20 L n + 1

Passo 6

Agora vamos calcular a posição   x (a expressão da densidade sobre a massa):

x = n + 1 20 L ∫ 0 L 20 L n x n d x = n + 1 L n + 1 ∫ 0 L x n + 1 d x = n + 1 L n + 1 x n + 2 n + 2 0 L = n + 1 n + 2 L

Como a posição é 3 4 L

n + 1 n + 2 L = 3 4 L

3 n + 6 = 4 n + 4

n = 2

Passo 7

Substituindo em ρ x

ρ x = 20 L n x n = 20 L 2 x 2

Resposta

ρ x = 20 L 2 x 2

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