Enunciado

Se x = ln (sec theta + tg theta) , mostre que sec theta = cosh x .

Passo 1

Fala, galera! Beleza? Vamos resolver essa questão!

O enunciado pediu pra gente mostrar que sec theta = cosh x , sabendo que x = ln (sec theta + tg theta) .

Então, o que nós vamos fazer é substituir x = ln (sec theta + tg theta) em cosh x e usar a definição do cosseno hiperbólico na forma:

cosh x = (e^x + e^(- x))/(2)

Para chegar a sec theta .

Vamos lá!

Passo 2

Vamos começar substituindo x = ln (sec theta + tg theta) em cosh x :

cosh x = cosh (ln (sec theta + tg theta))

Nós sabemos que cosh x = (e^x + e^(- x))/(2) , então vamos substituir a equação de cima nessa definição:

(e^(ln (sec theta + tg theta)) + e^(- ln (sec theta + tg theta)))/(2)

= (e^(ln (sec theta + tg theta)) + (1)/(e^(ln (sec theta + tg theta))))/(2)

Como logaritimo e exponencial são funções inversas, temos que e^(ln x) = x . Assim, nossa expressão fica:

= (sec theta + tg theta + (1)/(sec theta + tg theta))/(2)

Multiplicando a fração (1)/(sec theta + tg theta) por (sec theta - tg theta)/(sec theta - tg theta) (é como se a gente multiplicasse 1 na expressão, então não alterada nada), temos:

(sec theta + tg theta + (sec theta - tg theta)/((sec theta + tg theta) (sec theta - tg theta)))/(2)

Multiplicando os termos no denominador:

= (sec theta + tg theta + (sec theta - tg theta)/(sec^2 theta - tg^2 theta))/(2)

Agora usando a identidade hiperbólica sec^2 theta - tg^2 theta = 1 , temos:

(sec theta + tg theta + (sec theta - tg theta)/(1))/(2)

= (sec theta + tg theta + sec theta - tg theta)/(2)

Somando os termos semelhantes:

(2 sec theta)/(2)

E simplificando, obtemos:

= sec theta

Pronto, chegamos onde queríamos:

cosh x = sec theta

Como queríamos demonstrar.

Valeu, galera! Até a próxima! 😉

Resposta

D e m o n s t r a ç ã o n o s p a s s o s

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