Enunciado

( a ) Mostre que

∫ csc ⁡ x   d x = - ln ⁡ csc ⁡ x + cot ⁡ x + C

( b ) Mostre que o resultado de ( a ) também pode ser escrito como

∫ csc ⁡ x   d x = ln ⁡ csc ⁡ x - cot ⁡ x + C

E

∫ csc ⁡ x   d x = ln ⁡ tan ⁡ 1 2 x + C

Passo 1

Bom galera, primeiro a gente pode usar uma identidade trigonométrica pra facilitar nossa vida:

∫ csc ⁡ x   d x

= ∫ sec ⁡ π 2 - u   d x

= - ln ⁡ sec ⁡ π 2 - x + tan ⁡ π 2 - x + C

= - ln ⁡ csc ⁡ x + cot ⁡ x + C

Passo 2

Belezinha, a gente pode brincar um pouco agora:

- ln ⁡ csc ⁡ x + cot ⁡ x + C

= ln ⁡ 1 csc ⁡ x + cot ⁡ x + C

= ln ⁡ csc ⁡ x - cot ⁡ x csc 2 ⁡ x - cot 2 ⁡ x + C

= ln ⁡ csc ⁡ x - cot ⁡ x + C

Passo 3

Por fim, também podemos fazer isso:

- ln ⁡ csc ⁡ x + cot ⁡ x + C

= - ln ⁡ 1 sin ⁡ x + cos ⁡ x sin ⁡ x + C

= ln ⁡ sin ⁡ x 1 + cos ⁡ x + C = ln ⁡ 2 sin ⁡ x 2 cos ⁡ x 2 2 cos 2 ⁡ x 2 + C

= ln ⁡ tan ⁡ x 2 + C

Resposta

D e m o n s t r a ç ã o

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Seja a um vetor em R 3 fixado. Decida se a fórmula T v = a × v define um operador linear injetor de R 3 . Explique seu raciocínio.
Em cada parte, determine se a multiplicação por A é uma transformação linear injetora. A = 1 - 2 2 - 4 - 3 6 A = 1 3 5 7 2 - 1 2 4 - 1 3 0 0 A = 4 - 2 1 5 5 3
Escreva cada combinação de vetores como um único vetor. P Q → + Q R → R P → + P S → Q S → - P S → R S → + S P → + P Q →