Avalie a integral.

∫ 0 π 4 si n 4 x  cos 2 ⁡ x d x

Passo 1

Para resolver esse probleminha é bem fácil! Só aplicarmos uma substituição trigonométrica. Vamos primeiro organizar a integral:

∫ 0 π 4 sin 2 ⁡ x sin ⁡ x cos ⁡ x 2 d x

Podemos tornar o seno aplicando sin 2 ⁡ x = 1 2 ( 1 - cos ⁡ 2 x ) , da seguinte forma:

= ∫ 0 π 4 1 2 ( 1 - cos ⁡ 2 x ) 1 2 sin ⁡ 2 x 2 d x

= ∫ 0 π 4 1 8 1 - cos ⁡ 2 x sin 2 ⁡ 2 x d x

= 1 8 ∫ 0 π 4 1 - cos ⁡ 2 x sin 2 ⁡ 2 x d x - 1 8 ∫ 0 π 4 cos ⁡ 2 x sin 2 ⁡ 2 x d x

Agora ta bom demais!!

Passo 2

Calculando a integral, fica assim:

∫ 0 π 4 si n 4 x  cos 2 ⁡ x d x = 1 8 ∫ 0 π 4 1 - cos ⁡ 2 x sin 2 ⁡ 2 x d x - 1 8 ∫ 0 π 4 cos ⁡ 2 x sin 2 ⁡ 2 x d x

∫ 0 π 4 si n 4 x  cos 2 ⁡ x d x = 1 16 ∫ 0 π 4 1 - cos ⁡ 4 x d x - 1 16 1 3 sin 3 ⁡ 2 x 0 π 4

∫ 0 π 4 si n 4 x  cos 2 ⁡ x d x = 1 16 ∫ 0 π 4 1 - cos ⁡ 4 x d x - 1 16 1 3 sin 3 ⁡ 2 x 0 π 4

∫ 0 π 4 si n 4 x  cos 2 ⁡ x d x = 1 16 x - 1 4 sin ⁡ 4 x - 1 3 sin 3 ⁡ 2 x 0 π 4

Substituindo os intervalos:

∫ 0 π 4 si n 4 x  cos 2 ⁡ x d x = 1 16 [ π 4 - 1 4 sin ⁡ 4 × π 4 - 1 3 sin 3 ⁡ 2 π 4 - 0 - 1 4 sin ⁡ 4 × 0 - 1 3 sin 3 ⁡ 2 × 0 )

∫ 0 π 4 si n 4 x  cos 2 ⁡ x d x = 1 16 π 4 - 0 - 1 3

∫ 0 π 4 si n 4 x  cos 2 ⁡ x d x = 1 192 ( 3 π - 4 )

Finishh!! :)

Resposta

∫ 0 π 4 si n 4 x  cos 2 ⁡ x d x = 1 192 ( 3 π - 4 )

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