Avalie a integral.

∫ sin ⁡ 5 x sin ⁡ 2 x d x

Passo 1

Opa, bora lá! Precisamos integrar:

∫ sin ⁡ 5 x sin ⁡ 2 x d x

Pra isso vamos usar uma substituição trigonométrica. Usando as equações de soma e diferença de arcos:

cos ⁡ a + b = cos ⁡ a cos ⁡ b - sin ⁡ b sin ⁡ a

cos ⁡ a - b = cos ⁡ a cos ⁡ b + sin ⁡ b sin ⁡ a

Assim:

sin ⁡ b sin ⁡ a = cos ⁡ a - b - cos ⁡ a + b 2

No nosso caso temos:

a = 5 x

b = 2 x

Assim:

sin ⁡ 5 x sin ⁡ 2 x = cos ⁡ 5 x - 2 x - cos ⁡ 5 x + 2 x 2

sin ⁡ 5 x sin ⁡ 2 x = cos ⁡ 3 x - cos ⁡ 7 x 2

Então:

∫ sin ⁡ 5 x sin ⁡ 2 x d x = ∫ cos ⁡ 3 x - cos ⁡ 7 x 2   d x

Passo 2

Agora vamos resolver a integral:

∫ cos ⁡ 3 x - cos ⁡ 7 x 2   d x = 1 2 ∫ cos ⁡ 3 x   d x - 1 2 ∫ cos ⁡ 7 x   d x

Começando pela primeira integral, podemos usar a substituição:

u = 3 x

d u d x = 3 → d x = 1 3 d u

Assim:

1 2 ∫ cos ⁡ 3 x   d x = 1 2 ∫ 1 3 cos ⁡ u   d u

= 1 6 sin ⁡ u = 1 6 sin ⁡ 3 x

Agora a segunda integra, seguindo a mesma lógica temos:

1 2 ∫ cos ⁡ 7 x   d x = 1 2 1 7 sin ⁡ 7 x

= 1 14 sin ⁡ 7 x

Juntando tudo:

∫ cos ⁡ 3 x - cos ⁡ 7 x 2   d x = 1 6 sin ⁡ 3 x - 1 14 sin ⁡ 7 x + C

Prontinhoo!

Resposta

∫ cos ⁡ 3 x - cos ⁡ 7 x 2   d x = 1 6 sin ⁡ 3 x - 1 14 sin ⁡ 7 x + C

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