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Se f x = x k , onde k é um inteiro positivo ímpar, prove que f não tem extremos relativos.

Passo 1

Bem, para ter um extremo relativo naquele ponto, devemos olhar a derivada de f x .

Vamos lá:

f ' x = k x k - 1

Ele disse que k é ímpar certo? Então vamos ter k - 1 par. Isso nos garante que

x k - 1 ≥ 0

Porque qualquer número elevado a um expoente par é positivo.

Entao o sinal da derivada vai depender só de k .

Como ele disse que k é positivo, temos:

f ' x > 0

Para que se tenha algum extremo, devemos ter uma mudança de sinal da derivada, para variar de crescente para decrescente ou vice-versa.

Como ela é sempre positiva, não teremos nunca extremos relativos.

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