Enunciado

Esboce o gráfico de uma função que satisfaça a todas as condições dadas.

Assíntota vertical x = 0 , f ' x > 0 se x < - 2 , f ' x < 0 se x > - 2   x ≠ 0 , f ' ' ( x ) < 0 se x < 0 e f ' ' x > 0 se x > 0 .

Passo 1

Eaeee, belezinha?? Bom... a questão quer que esbocemos o gráfico de uma função f x que satisfaça as seguintes condições:

  • Assíntota vertical x = 0 ;
  • f ' x > 0 se x < - 2 ;
  • f ' x < 0 se x > - 2   x ≠ 0 ;
  • f ' ' ( x ) < 0 se x < 0 ;
  • f ' ' x > 0 se x > 0 .

Eita... muita coisa né?

Mas calma... Como ele pediu pra gente mostrar apenas um gráfico e não a expressão da função, as coisas ficam um pouco mais fácil.

Mas basicamente a gente precisa saber do seguinte:

  • Uma assíntota é uma linha ou curva que uma função se aproxima à medida que a variável independente se afasta para infinito ou para um ponto específico;
  • A derivada primeira nos mostra o crescimento ou o decrescimento da função;
  • A derivada segunda nos mostra a concavidade da curva.

Agora vamos aplicar!! 😉

Passo 2

Pra começar, vamos colocar uma assíntota em x = 0 . Assim, a curva se aproxima do eixo y mas nunca toca.

Para a primeira derivada temos o seguinte:

f ' x > 0 se x < - 2

Então, f será crescente para x < - 2 .

f ' x < 0 se x > - 2   x ≠ 0

Assim, f será decrescente para x > - 2 .

Passo 3

Para a segunda derivada:

f ' ' x < 0 se x < 0

Logo, nossa curva tem concavidade para baixo quando x < 0 .

f ' ' x > 0 se x > 0

Portanto, nossa curva tem concavidade para cima quando x > 0 .

Passo 4

Pra finalizar, basta esboçarmos um gráfico:

Entendeu direitinho?? Responde aee 😉

Resposta

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Determine os intervalos de crescimento e de decrescimento e esboce o gráfico (calcule para isto todos os limites necessários). x = t 2 1 + t 2
Determine os intervalos de crescimento e de decrescimento e esboce o gráfico (calcule para isto todos os limites necessários). f x = x + 1 x
Determine os intervalos de crescimento e de decrescimento e esboce o gráfico (calcule para isto todos os limites necessários). f x = x 3 - 3 x 2 + 1