Enunciado

Para quais valores de c a função

f (x) = c x + (1)/(x^2 + 3)

É crescente ( - oo , + oo ) ?

Passo 1

Fala, galera! Beleza? Vamos resolver essa questão!

O enunciado pediu pra gente encontrar o valor de c , presente na função f (x) = c x + (1)/(x^2 + 3) , que faz essa função ser crescente em todo domínio.

Então, aqui nós temos que lembrar que uma função é crescente quando sua derivada é positiva e decrescente quando sua derivada é negativa.

Portanto, para que a nossa função seja crescente em todo domínio, temos que garantir que f ´ (x) > 0 sempre! Ok ?!

Então, bora começar!

Passo 2

Vamos começar calculando a derivada de f ( x ) , usando a regra do quociente:

f ´ (x) = c - (2 x)/((x^2 + 3)^2)

Usando a teoria inicial, nós podemos afirmar que f ´ (x) > 0 , se

c - (2 x)/((x^2 + 3)^2) > 0

Ou seja:

c > (2 x)/((x^2 + 3)^2)

Cara nós sabemos que o c tem que ser maior que o valor máximo da expressão da direita que nós chamaremos de g ( x ) . O que nós podemos fazer é limitar o valor de c achando o valor máximo de g ( x ) .

Quando a gente fala em valor máximo uma coisa tem que vir direto na sua cabeça: Achar os pontos críticos. Então, vamos encontrá-los!

Passo 3

Então, para g (x) = (2 x)/((x^2 + 3)^2) , temos a derivada:

g ´ (x) = (- 6 (x^2 - 1))/((x^2 + 3)^3)

Igualando essa derivada a zero:

- 6 (x^2 - 1) = 0

x^2 - 1 = 0

E isolando x :

x = +- 1

Agora vamos aplicar esse valores em g ( x ) :

g (1) = (1)/(8)

g (- 1) = - (1)/(8)

Para nós termos certeza que (1)/(8) é mesmo o nosso ponto máximo, nós temos que testar os extremos do nosso domínio, para isso vamos usar o limite:

underset(x -> +- oo)(lim) (2 x)/((x^2 + 3)^2) = 0

Como o nosso limite deu um resultado maior, isso quer dizer que (1)/(8) é o nosso máximo.

Passo 4

Cara, só temos que prestar atenção em uma coisa, o nosso c pode ser maior ou igual a (1)/(8) . Se o c for (1)/(8) a nossa derivada no ponto x = 1 , será o zero, mas isso não impede que a nossa função seja crescente. O que eu quero dizer é que se a derivada for positiva quase sempre, mas zero em algum ponto, a nossa função ainda será crescente. Sacou ?! Dessa forma, temos que:

c >= (1)/(8)

Valeu, galera! Até a próxima! 😉

Resposta

c >= (1)/(8)

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