Para quais valores de c a função

f(x) = c \* x + 1 / (x^2 + 3)

É crescente (-∞, +∞) ?

Passo 1

Fala, galera! Beleza? Vamos resolver essa questão!

O enunciado pediu pra gente encontrar o valor de c , presente na função f x = c x + 1 x 2 + 3 , que faz essa função ser crescente em todo domínio.

Então, aqui nós temos que lembrar que uma função é crescente quando sua derivada é positiva e decrescente quando sua derivada é negativa.

Portanto, para que a nossa função seja crescente em todo domínio, temos que garantir que f ´ x > 0 sempre! Ok ?!

Então, bora começar!

Passo 2

Vamos começar calculando a derivada de f ( x ) , usando a regra do quociente:

f ´ x = c - 2 x x 2 + 3 2

Usando a teoria inicial, nós podemos afirmar que f ´ x > 0 , se

c - 2 x x 2 + 3 2 > 0

Ou seja:

c > 2 x x 2 + 3 2

Cara nós sabemos que o c tem que ser maior que o valor máximo da expressão da direita que nós chamaremos de g ( x ) . O que nós podemos fazer é limitar o valor de c achando o valor máximo de g ( x ) .

Quando a gente fala em valor máximo uma coisa tem que vir direto na sua cabeça: Achar os pontos críticos. Então, vamos encontrá-los!

Passo 3

Então, para g x = 2 x x 2 + 3 2 , temos a derivada:

g ´ x = - 6 x 2 - 1 x 2 + 3 3

Igualando essa derivada a zero:

- 6 x 2 - 1 = 0

x 2 - 1 = 0

E isolando x :

x = ± 1

Agora vamos aplicar esse valores em g ( x ) :

g 1 = 1 8

g - 1 = - 1 8

Para nós termos certeza que 1 8 é mesmo o nosso ponto máximo, nós temos que testar os extremos do nosso domínio, para isso vamos usar o limite:

lim x → ± ∞ ⁡ 2 x x 2 + 3 2 = 0

Como o nosso limite deu um resultado maior, isso quer dizer que 1 8 é o nosso máximo.

Passo 4

Cara, só temos que prestar atenção em uma coisa, o nosso c pode ser maior ou igual a 1 8 . Se o c for 1 8 a nossa derivada no ponto x = 1 , será o zero, mas isso não impede que a nossa função seja crescente. O que eu quero dizer é que se a derivada for positiva quase sempre, mas zero em algum ponto, a nossa função ainda será crescente. Sacou ?! Dessa forma, temos que:

c ≥ 1 8

Valeu, galera! Até a próxima! 😉

Resposta

c ≥ 1 8

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