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Exercícios Resolvidos de Cálculo Volume 1 7ª Edição - James Stewart

Enunciado

Cálculo - Cálculo Volume 1 7ª Edição - James Stewart - 7.8 - 47

  1. Se g x = sen 2 ⁡ x x 2 , use sua calculadora ou computador para fazer uma tabela de valores aproximados de ∫ 1 t g x d x para t = 2 , 5 , 10 , 100 , 1   000 e 10   000 . Parece que ∫ 1 ∞ g x d x é convergente?
  2. Use o Teorema da Comparação com f x = 1 x 2 para mostrar que ∫ 1 ∞ g x d x é convergente.
  3. Ilustre a parte (b) traçando f e g na mesma tela para 1 ≤ x ≤ 10 . Use seu gráfico para explicar intuitivamente por que ∫ 1 ∞ g x d x é convergente.

Passo 1

  1. Usando uma calculadora vamos achar os valores na tabela abaixo:
  2. t

    ∫ 1 t g x d x

    2

    0,447453

    5

    0,577101

    10

    0,621306

    100

    0,668479

    1000

    0,672957

    10000

    0,673407

    Parece que ∫ 1 ∞ g x d x é convergente, cada vez que aumentamos o valor de t o valor da integral varia pouco, parecendo que vai convergir pra um valor.

    Passo 2

  3. Vamos lá, o Teorema da Comparação diz que:
  4. Supondo que f e g são contínuas com f x ≥ g x ≥ 0 para x ≥ a , se ∫ a ∞ f x d x é convergente, então ∫ a ∞ g x d x é convergente.

    Temos que o seno varia entre - 1 e 1 , assim:

    - 1 ≤ sen ⁡ x ≤ 1 → 0 ≤ sen 2 ⁡ x ≤ 1 → 0 ≤ sen 2 ⁡ x x 2 ≤ 1 x 2

    Pronto, temos que 0 ≤ g x ≤ f x , assim ∫ 1 ∞ g x d x é convergente.

    Passo 3

  5. Vamos lá, dá pra ver no gráfico que ∫ 1 ∞ f x d x é finito, e a área abaixo de g x é menor que a área abaixo de f x no intervalo 1 , t , assim ∫ 1 ∞ g x d x deve ser finita, o que torna a integral convergente.

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Resposta

  1. Sim, parece que ∫ 1 ∞ g x d x é convergente

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