Enunciado

Se f x = a x ³ + b x ² + c x + d , determine a ,   b ,   c   e   d ,   de forma que o gráfico de f tenha um extremo relativo em (0,3) e que o gráfico tenha um ponto de inflexão em (1,-1)

Passo 1

Para determinar os pontos de inflexão do gráfico, ou seja, o ponto onde a função muda a direção da concavidade, devemos obter a derivada segunda da nossa função:

f x = a x ³ + b x ² + c x + d

f ' x = 3 a x 2 + 2 b x + c

f ' ' x = 6 a x + 2 b

Uma vez descoberta a derivada segunda, os pontos de inflexão são caracterizados por f ' ' x = 0 .

Passo 2

Igualando f ' ' x :

6 a x + 2 b = 0

x = - 2 b 6 a

x = - b 3 a

Para que o ponto de inflexão seja (1, -1):

x = - b 3 a = 1

b = - 3 a

Lembrando que nos extremos nós temos que a inclinação da reta tangente é igual a 0, no ponto (0,3):

f ' 0 = 3 a . 0 + 2 b . 0 + c = 0

c = 0

Substituindo em f x :

f 0 = a . 0 + b . 0 + 0.0 + d = 3

d = 3

Para acharmos a e b podemos usar a função no ponto (1,-1):

f 1 = a . 1 ³ - 3 a . 1 ² + 3 = - 1

- 2 a = - 1 - 3

a = 2

b = - 3 a = - 3.2 = - 6

Então:

f x = 2 x ³ - 6 x 2 + 3

Resposta

a = 2 ,   b = - 6 ,   c = 0   e   d = 3

Ver Outros Exercícios desse livro

Exercícios de Livros Relacionados

Identifique os pontos de inflexão e os máximos e mínimos locais da função representada graficamente. Identifique os intervalos em que a função é côncava para cima e aqueles em que ela é côncava para b
Identifique os pontos de inflexão e os máximos e mínimos locais da função representada graficamente. Identifique os intervalos em que a função é côncava para cima e aqueles em que ela é côncava para b
Identifique os pontos de inflexão e os máximos e mínimos locais da função representada graficamente. Identifique os intervalos em que a função é côncava para cima e aqueles em que ela é côncava para b
Identifique os pontos de inflexão e os máximos e mínimos locais da função representada graficamente. Identifique os intervalos em que a função é côncava para cima e aqueles em que ela é côncava para b
Identifique os pontos de inflexão e os máximos e mínimos locais da função representada graficamente. Identifique os intervalos em que a função é côncava para cima e aqueles em que ela é côncava para b