Enunciado

Identifique os pontos de inflexão e os máximos e mínimos locais da função representada graficamente. Identifique os intervalos em que a função é côncava para cima e aqueles em que ela é côncava para baixo.

Passo 1

Vamos começar calculando a derivada primeira e segunda:

y ' = 1 + 2  cos ⁡ 2 x  

y ' ' =   - 2   s e n 2 x 2 = - 4   s e n ( 2 x )

Passo 2

Vamos encontrar os pontos críticos agora, que são onde a derivada é zero.

  y ' = 1 + 2  cos ⁡ 2 x = 0

2 c o s 2 x = - 1

cos ⁡ 2 x =   - 1 2

2 x = 2 π 3   o u 4 π 3

x = π 3   e   x =   2 π 3

Esses são nossos pontos críticos.

Vamos ver se são pontos de máximo ou mínimo pela derivada segunda:

y ' ' π 3 =   - 4 s e n   2 π 3 =   - 4 3 2 =   - 2 3 < 0  

y ' ' 2 π 3 =   - 4   s e n   4 π 3 =   - 4 - 3 2 = 2 3 > 0

Então a função possui um ponto de máximo em x = π 3 e ponto de mínimo em x = 2 π 3 .

Porém, observe que o gráfico é simétrico, em relação à origem, portanto, teremos um ponto mínimo em x =   - π 3 e um ponto de máximo em - 2 π 3 .

Passo 3

Os pontos de inflexão são onde muda a concavidade, então vamos ver em que pontos a derivada segunda é positiva ou negativa...

= - 4   s e n 2 x > 0  

s e n 2 x < 0

s e n   2 x = 0 → 2 x = 0   o u   2 x = ±   π → x = 0   e   x = ± π 2

Então, temos que a concavidade é para cima em - π 2 , 0 e π 2 , 2 π 3 e para baixo em - 2 π 3 ,   - π 2 e 0 , π 2 .

E os pontos de inflexão são: - π 2 ,   - π 2 e π 2 ,   π 2 .

Resposta

Pontos de máximo em x = π 3   e x = - 2 π 3   e   pontos de mínimo em x =   - π 3 e x = 2 π 3 .

A concavidade é para cima em - π 2 , 0 e π 2 , 2 π 3 e para baixo em - 2 π 3 ,   - π 2 e 0 , π 2 .

E os pontos de inflexão são: - π 2 ,   - π 2 e π 2 ,   π 2 .

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