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Cálculo - Diva Flemming - Cálculo A - Capítulo 8.7 - Ex. 10

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10. y = 3 + sen ⁡ y   ,   x = 0   ,   y = - 5 π 2   e   y = 5 π 2

Passo 1

Temos que f y = 3 + sen ⁡ y  

O gráfico dessa equação é o seguinte:

No eixo y temos: - 5 π 2 ≤ y   ≤ 5 π 2

No eixo x temos: 0 ≤ x ≤ 3 + sen ⁡ y  

Passo 2

Para obtermos o volume gerado pela revolução de R em torno do eixo y, usaremos a seguinte formula:

V = π ∫ a b f ( y ) 2   d y  

Passo 3

Portanto, o volume é:

V = π ∫ - 5 π 2 + 5 π 2 3 + sen ⁡ y 2   d y

= π ∫ - 5 π 2 + 5 π 2 ( 9 + 6 sen ⁡ y + sen 2 ⁡ y )   d y

Obs.: ∫ sen 2 ⁡ y   d y = y 2 - cos ⁡ y sen ⁡ y 2    

= π 9 y - 6 cos ⁡ y - 1 2 sen ⁡ y cos ⁡ y + 1 2 y - 5 π 2 5 π 2 =

= π 9 5 π 2 + 1 2 5 π 2   - 9 ⋅ - 5 π 2 - 1 2 ⋅ - 5 π 2

= π 90 π 2 + 10 π 4

= 95 2 π 2   u . v .

Resposta

= 95 2 π 2   u . v .

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