8. x = y^2 + 1, x = 1/2, y = -2 e y = 2

Passo 1

Temos que os f ( y ) são:

f 1 y = y 2 + 1

f 2 y = 1 2

O gráfico dessa equação é o seguinte:

No eixo x temos: 1 2 ≤ x ≤ 5

No eixo y temos: - 2 ≤ y   ≤ 2

Como podemos observar, temos uma espécie de parábola deitada. Podemos obter a área desse solido, subtraindo f 1 ( y ) que representa a parte maior, pelo f 2 ( y ) .

A y = π f 1 y -   f 2 y

Passo 2

Para obtermos o volume gerado pela revolução de R em torno do eixo y, usaremos a seguinte formula:

V = π ∫ a b A y 2   d y  

Passo 3

Portanto, o volume é:

V = 2 π ∫ 0 2 y 2 + 1 2 - 1 2 2   d y

Observe que nesse caso tivemos um 2 π ao invés de π . Isso ocorreu pois nesse caso, temos uma figura simétrica, ou seja, ambos os lados têm o mesmo volume. Assim consideremos duas vezes o mesmo volume, por isso esse 2 na frente. Uma forma alternativa, seria fazer com o intervalo de -2 a +2, mantendo um π antes da integral.

= 2 π ∫ 0 2 y 4 + 2 y 2 + 1 - 1 4   d y

2 π ∫ 0 2 y 4 + 2 y 2 + 3 4   d y

2 π y 5 5 + 2 3 y 3 + 3 4 y 0 2 =

= π 32 5 + 16 3 + 3 2

= 397 π 30   u . v .

Resposta

397 π 30   u . v .

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