Enunciado

10 - Determine o volume do sólido gerado pela rotação da região limitada pela parábola y 2   =   4 x e pela reta y   =   x em torno:

  1. Do eixo x
  2. Do eixo y
  3. Da reta x = 4
  4. Da reta y = 4

Passo 1

Observe a imagem abaixo:

Observamos que na imagem que tanto para o eixo x, como para o eixo y, os limites de integração serão: a = 0   e   b = 4

Para calcular o volume usaremos o método da casca:

V =   ∫ a b 2 π r a i o ⋅ a l t u r a d y

Primeiramente se observarmos na imagem os pontos para o eixo x, são 4 e 0, estes será nosso limites de integração.

Primeiramente achar f y

y 2 = 4 x → 4 x = y 2 ⇒ x = y 2 4   e   x = y

Sendo:

r a i o = 4 - y     e   a l t u r a = y - y 2 4

Passo 2

Inserindo na integral, dado pela figura os limites de integração: a = 0   e   b = 4 .

V = 2 π ∫ 0 4 ( 4 - y ) y - y 2 4   d y

V = 2 π ∫ 0 4 4 y - 2 y 2 + y 3 4   d y

Resolvendo os limites de integração:

2 π 2 y 2 - 2 y 3 3 + y 4 16 0 4

Subsituindo com os limites:

2 π 32 - 128 3 + 256 16 - 0

2 π 32 - 128 3 + 64 4

2 π 384 - 512 + 192 12

Resolvendo os colchetes:

2 π 64 12 = 2 π 16 3 = 32 π 3   u . v .

Resposta

32 π 3   u . v .

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Resolva o Exercício 16, se os dois planos estiverem em lados diferentes opostos em relação ao centro da esfera, mas todos os demais permanecem os mesmos.
Use o método da casca para determinar os volumes dos sólidos obtidos com a rotação das regiões sombreadas em torno dos eixos indicados
Ache o volume do sólido gerado pela rotação da região limitada pela curva de y = | x - 2 | , pelo eixo x , e pelas retas x = 1 e x = 4 , em torno do eixo x .
Use integração para encontrar o volume de sum segmento de uma esfera, se ela tiver um raio de r unidades e se a altura do segmento for h unidades.
A base do sólido é a região encerrada por um círculo tendo um raio de r unidades, e toda a secção plana perpendicular a um diâmetro fixo da base é um quadrado cuja diagonal é uma corda do círculo. Ach