Enunciado

Ache o volume do sólido gerado pela rotação da região limitada pela curva de y = | x - 2 | , pelo eixo x , e pelas retas x = 1 e x = 4 , em torno do eixo x .

Passo 1

Pessoal, como vai ser a rotação em torno do eixo x e temos uma função na variável x , está perfeito para usarmos o método dos discos e arruelas, ok?

Agora para resolver, a primeira coisa a se fazer é lembrar a fórmula que calcula o volume sólido obtido pela rotação da curva f ( x ) em um intervalo [ a , b ] .

V = ∫ a b π f x 2 d x

Essa é a fórmula.

Passo 2

Precisamos do intervalo de integração para montar a integral. O intervalo de integração será de x = 1 até x = 4 , abscissas dadas no enunciado.

Sendo assim, o volume é dado por

V = ∫ 1 4 π | x - 2 | 2 d x = π ∫ 1 4 x - 2 2 d x

Passo 3

Já podemos resolver a integral. Sabemos da integral definida que:

∫ a b f x d x = F b - F a

Em que F é uma primitiva de f .

Dessa forma,

V = π ∫ 1 4 x - 2 2 d x = π x - 2 3 3 1 4 = π 3 4 - 2 3 - 1 - 2 3 = π 3 8 - - 1 = 3 π   u . v

Sendo assim, o volume é   V = 3 π   u . v .

Resposta

V = 3 π   u . v

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