Resolva a equação diferencial:

e^(2x) y' + 2 e^(2x) y = 2x

Passo 1

E aê pessoal? Vamos resolver essa equação diferencial.

Primeiro, Vamos fazer alguns ajustes para ficar parecida com a equação diferencial.

Dividimos por e 2 x s, pois o coeficiente de y ' deve ser 1. Beleza?

y ' + 2 y =   2 x .   e - 2 x

Agora comprar com a equação diferencial. Beleza?

y ' x + p x y = f ( x )

Comparando, percebemos que p x =   2 ;   f x =   2 x .   e - 2 x

Passo 2

Agora, que identificamos p ( x ) e f ( x ) , vamos encontrar o fator integrante, ok?

Show, o fator integrante é dado por:

u x =   e ∫ p x d x = e ∫ 2 d x =   e 2 x

Passo 3

Agora, multiplicaremos o fator integrante pela equação dada:

e 2 x y ' + 2 e 2 x y =   2 x .   e - 2 x . e 2 x

e 2 x y ' + 2 e 2 x y =   2 x

Repare que do lado esquerdo da equação equivale a derivado do produto:

d y d x e 2 x . y = 2 x

Passo 4

Beleza, agora é só integrar:

e 2 x . y = ∫ 2 x   d x

e 2 x . y = x 2 + C

y = x 2 . e - 2 x + c . e - 2 x

Resposta

y = x 2 . e - 2 x + c . e - 2 x

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