Enunciado

11-17. Determine a derivada direcional da função no ponto dado na direção do vetor v .

17. h r ,   s ,   t = ln ⁡ 3 r + 6 s + 9 t ,   1 ,   1 ,   1 ,   v = 4 i + 12 j + 6 k

Passo 1

Então galera, para determinarmos a derivada direcional da função no ponto dado na direção do vetor v , segundo o Stewart na seção 14.6 precisamos fazer:

∇ f = ∂ f ∂ x i + ∂ f ∂ y j + ∂ f ∂ z k

Que é o gradiente de f . Em seguida:

D u f = ∇ f . u

No qual u é o vetor unitário na direção de v . No nosso caso as variáveis são um pouco diferentes, mas o raciocínio é literalmente o mesmo, tudo bem? No nosso caso, temos:

∇ h = ∂ h ∂ r i + ∂ h ∂ s j + ∂ h ∂ t k

Passo 2

Descobrindo nosso gradiente:

∇ h = 3 3 r + 6 s + 9 t i + 6 3 r + 6 s + 9 t j + 9 3 r + 6 s + 9 t k

∇ h 1 ,   1 ,   1 = 3 18 i + 6 18 j + 9 18 k

∇ h 1 ,   1 ,   1 = 1 6 i + 1 3 j + 1 2 k

Descobrindo u :

u = v v = 4 i + 12 j + 6 k 4 2 + 12 2 + 6 2 = 1 14 4 i + 12 j + 6 k

Sendo assim, nossa derivada direcional será:

D u h 1 ,   1 ,   1 = ∇ h 1 ,   1 ,   1 . u

D u h 1 ,   1 ,   1 = 1 6 i + 1 3 j + 1 2 k . 1 14 4 i + 12 j + 6 k = 1 14 4 6 + 12 3 + 6 2

∴ D u h 1 ,   1 ,   1 = 23 42

Resposta

D u h 1 ,   1 ,   1 = 23 42

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