Enunciado

4-6. Determine a derivada direcional de   f no ponto dado e na direção indicada pelo ângulo θ .

5. f x ,   y = y cos ⁡ x y ,   0 ,   1 ,   θ = π 4

Passo 1

Para calcularmos a derivada direcional de f no ponto dado, isto é, D u f ( x ,   y ) , devemos utilizar a seguinte fórmula:

D u f x ,   y = f x x ,   y cos ⁡ θ + f y x ,   y s e n   θ

E aqui vale ressaltar que f x e f y são as derivadas da função f que foi dada em relação a x e a y , respectivamente. Já que falamos em derivadas, vamos encontrar nossas derivadas de uma vez logo, saca só:

f x = y . - s e n x y . y = - y 2 . s e n x y

f y = cos ⁡ x y - y . s e n x y . y = cos ⁡ x y - y 2 . s e n x y

O ponto que nos foi dado é ( 0 ,   1 ) , então:

f x 0 ,   1 = - 1 . s e n 0 = 0

f y 0 ,   1 = cos ⁡ 0 - 1 . s e n 0 = 1

Passo 2

Agora que já encontramos a derivada no ponto, vamos aplicar na fórmula da derivada direcional que escrevemos no passo 1, se liga:

D u f 0 ,   1 = 0 . cos ⁡ π 4 + 1 . s e n π 4

∴ D u f 0 ,   1 = 2 2

Resposta

D u f 0 ,   1 = 2 2

Ver Outros Exercícios desse livro

Exercícios de Livros Relacionados

6- Seja f x ,y = x y x 2 + y 2 ,x ,y ≠ ( 0,0 ) 0 ,x ,y = ( 0,0 ) Mostre que:b) f ( x ,y ) não é diferenciável em 0 ,0 .
Nos exercícios 1 a 4, encontre a derivada direcional no ponto P 0 na direção do vetor u , nos seguintes casos:2- f x ,y = e x 2 - y 2 , P 0 = 1,1 ,u = ( 1 ,3 )
6- Seja f x ,y = x y x 2 + y 2 ,x ,y ≠ ( 0,0 ) 0 ,x ,y = ( 0,0 ) Mostre que:a) f ( x ,y ) é contínua em 0 ,0 .
5- Sejam f x ,y = x 3 x 2 + y 2 , x ,y ≠ ( 0 ,0 ) 0 ,x ,y = ( 0 ,0 ) e u = 1 ,1 . a)Calcule ∂ f ∂ u 0 ,0 , usando a definição.
10. Uma chapa de metal aquecida está situada no plano x y de tal modo que a temperatura é inversamente proporcional à distância do ponto à origem. A temperatura em 3,4 é de 100 graus. Suponha que os e