Calcule a integral :

∫ d x - 2 x - x 2  

Passo 1

Galera, o primeiro passo será reescrever o termo - 2 x - x 2 . Utilizaremos o método de completar quadrados. Veja:

- 2 x - x 2 =   - ( x 2 + 2 x )

Agora, vamos somar e subtrair 1 2

- x 2 + 2 x + 1 2 - 1 2

Vamos comparar com a equação do 2º grau:

x 2 + 2 a x +   a 2 = x + a 2

Agora, veja:

- x 2 + 2 x + 1 2 - 1 2 = - x + 1 2 - 1 2 =   - x + 1 2 + 1

Passo 2

Agora, substituindo na integral, temos:

∫ d x - 2 x - x 2 =   ∫ d x -   x + 1 2 + 1 =   sin - 1 ⁡ ( x + 1 ) + C

Passo 3

sin - 1 ⁡ ( x + 1 ) + C

Resposta

sin - 1 ⁡ ( x + 1 ) + C

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