Enunciado

12.(a) Encontre a inclinação da tangente à parábola y = x 3 - 4 x + 1   nos pontos onde x = a .

(b) Encontre as inclinações das retas tangentes nos pontos cujas coordenadas são ( 1 , - 2 ) e ( 2,1 )

(c) Faça o gráfico da curva e das tangentes em uma tela comum.

Passo 1

Olá, meu querido aluno. Pronto para mais uma resolução?

Veja bem, aqui iremos encontrar a inclinação de uma reta tangente à curva:

  y = x 3 - 4 x + 1

Tudo isso, em um ponto genérico x = a . É valido lembrar que esse ponto genérico pertence a nossa curva y .

Para que possamos encontrar essa equação da reta, deveremos encontrar o coeficiente angular da reta tangente. Encontramos ele com a seguinte relação:

m = lim h → 0 ⁡ f ( a + h ) - f ( a ) h

Em que m , é o coeficiente angular da reta tangente à curva no ponto ( a , f ( a ) ) e h = x - a .

Com o ponto em mão, podemos substituir ele na relação abaixo, para encontrarmos finalmente a equação:

y - y 0 = m ( x - x 0 )

Onde x 0 , y 0 são os pontos dados para a gente e que pertencem a nossa reta. Costumeiramente as questões dizem, ‘encontra a equação da reta tangente a curva y e que passe pelo ponto ( x 0 , y 0 ) ’, então já fique ligado.

Passo 2

Letra a)

Primeiramente, vamos então descobrir a inclinação da reta tangente:

m = lim h → 0 ⁡ f ( a + h ) - f ( a ) h

Vamos realizar alguns cálculos fora da equação enrolarmos:

f ( x ) = x 3 - 4 x + 1

f a + h = a + h 3 - 4 a + h + 1

Desenvolvendo o produto notável:

f a + h = a 3 + 3 a h 2 + 3 a 2 h + h 3 - 4 a - 4 h + 1

f ( a ) = a 3 - 4 a + 1

Substituindo tudo no cálculo do limite temos:

m = lim h → 0 ⁡ a 3 + 3 a h 2 + 3 a 2 h + h 3 - 4 a - 4 h + 1 - a 3 + 4 a - 1 h

Simplificando os termos:

= l i m h → 0 3 a h 2 + 3 a 2 h + h 3 - 4 h h

Botando o h em evidência para fazermos a redução depois:

m = l i m h → 0 h ( 3 a h + 3 a 2 + h 2 - 4 ) h

“Cortando” o h de cima e de baixo, temos:

m = lim h → 0 ⁡ ( 3 a h + 3 a 2 + h 2 - 4 ) = 3 a 2 - 4

Agora temos o que nos foi pedido, o coeficiente angular no ponto x = a .

Passo 3

Letra b)

Agora apenas substituiremos o valor de a pelos valores do enunciado, que será a abscissa dos pontos do enunciado.

( 1 , - 2 )

a = 1

Então!! Só jogaremos esse valor no m que calculamos:

m = 3 ( 1 ) 2 - 4 = - 1

Faremos a mesma coisa para o outro ponto.

Porém, agora o a muda. Seu valor no ponto ( 2,1 )   é a = 2 .

m = 3 ( 2 ) 2 - 4 = 12 - 4 = 8

Passo 4

Letra c)

Vamos agora finalizar nossa resolução encontrando as equações das retas tangentes e que passam pelos pontos ( 1 , - 2 ) e 2,1 :

y - y 0 = m ( x - x 0 )

Substituindo os dados:

  • Primeiro para 1 , - 2 :
  • y - ( - 2 ) = - 1 ( x - 1 )

    y + 2 = - x + 1

    y = - x - 1

  • Agora para 2,1 :

y - ( 1 ) = 8 ( x - 2 )

y - 1 = 8 x - 16

y = 8 x - 15

Podemos agora gerar o grafico com a nossa curva e suas retas tangentes:

Resposta

( a )

m = 3 a 2 - 4

( b )  

( 1 , - 2 )

y = - x - 1

( 2,1 )

y = 8 x - 15

(c) O gráfico.

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