Enunciado

Encontre as assíntotas horizontal e vertical de cada curva. Confira seu trabalho por meio de um gráfico da curva e das estimativas das assíntotas.

y = x x 4 + 1 4

Passo 1

Opa, bora lá! Temos que achar as assíntotas da curva:

y = x x 4 + 1 4

Então vamos relembrar o que são assíntotas! Assíntotas são retas pra qual a curva vai se aproximando mas nunca chega.

As assíntotas horizontais são retas horizontais que a função vai se se aproximando quando x tende ao infinito positivo ou negativo. Temos uma assíntota horizontal, quando os limites abaixo são FINITOS:

lim x → + ∞ ⁡ y

lim x → - ∞ ⁡ y

As assíntotas verticais são retas verticais, onde geralmente a função não tá definida. Costumam ser pontos de descontinuidade, que não fazem parte do domínio e onde a função explode pro infinito. Pra achar elas, vamos procurar esses pontos mal comportados.

Passo 2

Começaremos com a assíntota horizontal.

Se acharmos um número real, a assíntota será esse número. Caso dê infinito não teremos assíntota horizontal. Vamos para o cálculo!

lim x → + ∞ ⁡ f x = l i m x → + ∞ x x 4 + 1 4 = ∞ ∞

Vamos ter que simplificar essa função pra sumir com a indeterminação. Geralmente quando temos potências grandes de x , colocamos essa potência em evidência, porque assim, a gente consegue zerar alguns termos. Vamos colocar o x 4 em evidência no numerador.

l i m x → + ∞ x x 4 1 + 1 x 4 4 = l i m x → + ∞ x x   1 + 1 x 4 4

Lembrando que quando um valor sai da raiz, ele fica em módulo. E isso vai fazer diferença aqui porque queremos um limite pra x positivo e outro pra x negativo.

No caso de x → + ∞ , temos apenas valores positivos, então x = x .

Voltando para a expressão:

l i m x → + ∞ x x 1 + 1 x 4 4 = l i m x → + ∞ 1 1 + 1 x 4 4

Por linearidade, nossa expressão fica assim

lim x → + ∞ ⁡ f ( x ) = l i m x → + ∞ 1 l i m x → + ∞ 1 + l i m x → + ∞ 1 x 4 4

E como esse termo l i m x → + ∞ 1 x 4 vai zerar, temos que

l i m x → + ∞ x x 4 1 + 1 x 4 4 = 1

Então, temos assíntota horizontal para x positivo e é a reta y = 1

Passo 3

Agora para x → - ∞ . O começo é igual, então vamos partir dessa etapa aqui:

l i m x → - ∞ x x 4 1 + 1 x 4 4 = l i m x → - ∞ x x   1 + 1 x 4 4

No caso de x → - ∞ , temos apenas valores negativos, então x = - x .

Voltando para a expressão:

l i m x → - ∞ x - x 1 + 1 x 4 4 = l i m x → + ∞ - 1 1 + 1 x 4 4

Por linearidade:

lim x → - ∞ ⁡ f ( x ) = - l i m x → - ∞ 1 l i m x → - ∞ 1 + l i m x → - ∞ 1 x 4 4

E como esse termo l i m x → - ∞ 1 x 4 vai zerar, temos que

lim x → - ∞ ⁡ f ( x ) = - 1

Então, temos assíntota horizontal para x negativo e é a reta y = - 1

Passo 4

Ufa, agora as assíntotas verticais. Lembra como fazemos?

Os candidatos a assíntotas verticais são os pontos em que a função não está definida.

Nesse caso, para vermos se há algum ponto que não existe, temos que anular o denominador ou torna-lo negativo, já que a raiz tem índice par.

x 4 + 1 ≤ 0

Não existe valor de x na inequação acima.

O domínio da função são os reais, logo não há pontos em que ela não está definida, então não temos assíntotas verticais apenas as horizontais.

Resposta

Assíntotas horizontais:

y = 1

y = - 1

Não tem assíntotas verticais.

Ver Outros Exercícios desse livro

Exercícios de Livros Relacionados

Determinar as assíntotas horizontais e verticais do gráfico da seguinte função: f x = - 1 ( x - 3 ) ( x + 4 )
Determinar as assíntotas horizontais e verticais do gráfico da seguinte função: f x = - 2 x - 3
Fazer o gráfico das funções seguintes e determinar os respectivos limites. Para melhor visualização, traçar, também, o gráfico das retas indicadas. A seguir, determinar analiticamente os limites dados
Analisar graficamente a existência de assíntotas para as seguintes funções: f x = tan ⁡ x - x x 3
Constatar, desenvolvendo exemplos graficamente, que as funções racionais do tipo f x = p x q x , com p ( x ) e q ( x ) polinômios, tais que a diferença entre o grau do numerador e o grau do denominado