Enunciado

13. O ciclo limite encontrado no Problema 12 aparece como resultado de uma bifurcação de Hopf em um valor c 1 de c entre 1   e 1,3 . Determine, ou pelo menos estime com mais precisão, o valor de c 1 . Existem diversas maneiras de fazer isto.

(a) Desenhe trajetórias para diversos valores de c.

(b) Calcule os autovalores nos pontos críticos para diversos valores de c.

(c) Use o resultado do Problema 3(b) anterior.

Passo 1

L e t r a   A :

Aqui não existe muito mistério, neh? Vamos pegar valores de c entre 1 e 1.3 , digamos... 1.2 e 1.25 , substituir no código do exercício 11 e colocar o programa pra rodar! As trajetórias que vamos fazer aqui serão tridimensionais, e para isso vamos usar as mesmas plotagens de exercícios anteriores (11 e 12)!

Vamos lá?

Passo 2

Com o c = 1.1 e t de 0 a 100 , com o ponto inicial em 1 ,   1 ,   1 ...

OPA! Convergiu!

Agora com c = 1.2 ...

Ta convergindo também, mas bem lentamente, percebe?

Agora e com c = 1.25 ?

Parou de convergir para a estabilidade . O que existe um ponde de bifurcação entre 1.2 e 1.25 . Saca?

Passo 3

L e t r a   B :

Vamos lá, para c = 1.2 ... De acordo com o exercício anterior, podemos determinar o ponto crítico através das três equações a seguir:

x = - 0,25 y  

z = - y

0,25 y 2 + c y + 0,5 = 0

Com c = 1.2 ...

0,25 y 2 + 1.2 y + 0,5 = 0

Resolvendo essa equação do segundo grau com um auxílio de uma calculadora...

y = - 0.4609

O outro valor não é interessante para análise por gerar um autovalor inteiramente positivo. Logo, os valores de x e de z do ponto será...

x = - 0,25 y = 0.1152

z = - y = 0.4609

O jacobiano desse primeiro ponto será então...

J = 0 - 1 - 1 1 0,25 0 z 0 x - 0,5   →

J 0.1152 ,   - 0.4609 ,   0.4609 = 0 - 1 - 1 1 0,25 0 0.4609 0 0.1152 - 0,5     →

Jogando no Wolfram para obter seus autovalores ganharemos...

λ = - 0 , 0063 ± 1.0859   i

Passo 4

Com c = 1.2 5 ...

0,25 y 2 + 1.2 5 y + 0,5 = 0

Resolvendo essa equação do segundo grau com um auxílio de uma calculadora...

y = - 0.4384

Logo, os valores de x e de z do ponto será...

x = - 0,25 y = 0.1 096

z = - y = 0.4 384

O ponto nesse caso é:

0.1096 ,   - 0.4384 ,   0.4384

O jacobiano desse primeiro ponto será então...

J = 0 - 1 - 1 1 0,25 0 z 0 x - 0,5   →

J 0.1096 ,   - 0.4384 ,   0.4384 = 0 - 1 - 1 1 0,25 0 0.4384 0 0.1096 - 0,5     →

Jogando no Wolfram para obter seus autovalores ganharemos...

λ = 0.0010 ± 1.0747   i

Passo 5

Poxa, então para c = 1.2 , obtivemos autovalores com a parte real negativa:

λ = - 0,0063 ± 1.0859   i

Já para c = 1.25 , o autovetor já possui um valor real positivo:

λ = 0.0010 ± 1.0747   i

O que faz a solução se tornar instável e em ressonância. Ou seja, existe um ponto de bifurcação entre 1.2 e 1.25 .

Passo 6

L e t r a   C :

O jacobiano em termos de y é...

J = 0 - 1 - 1 1 0,25 0 z 0 x - 0,5 →

J = 0 - 1 - 1 1 0,25 0 - y 0 - 0.25 y - 0,5   →

Calculando então o determinante disso aí...

det ⁡ - λ - 1 - 1 1 0,25 - λ 0 - y 0 - 0.25 y - 0,5 - λ       →

- λ 0,25 - λ - 0.25 y - 0,5 - λ - 0.25 y - 0,5 - λ - y 0,25 - λ = 0     →

SHOW! Bem, simplificar isso, vai ser um pouco complicado. Por isso vamos usar o WolframAlpha para fazer isso chegando a:

- λ 3 - 0.457107 λ 2 - 0.823223 λ - 0.25 λ 2 y + 1.0625 λ y - 0.5 y - 0.707107 = 0   →

Ou, dando mais uma arrumadinha...

λ 3 + 0.457107 + 0.25 y λ 2 + 0.823223 - 1.0625 y λ + 0.5 y + 0.707107 = 0   →

Vimos no exercício 3 que o ponto de bifurcação acontece quando...

λ 3 + A λ 2 + B λ + C = 0   →

A B = C

Então aqui teremos...

0.457107 + 0.25 y 0.823223 - 1.0625 y = 0.5 y + 0.707107     →

A solução no Wolfram desse problema é:

y = - 0.441447

Como tiramos c da equação...

0,25 y 2 + c y + 0,5 = 0

Logo...

c = - 0,5 - 0,25 y 2 y

Que jogando na calculadora, nos dá mais ou menos c ≈ 1,243 , que é o ponto onde acontece a bifurcação .

Resposta

Ei, a resposta está no passo a passo :)

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