Enunciado

15.

(a) Seja c   =   3,8 . Encontre os pontos críticos e os autovalores correspondentes.

(b) Desenhe a trajetória que começa no ponto ( 1 ,   0 ,   - 2 ) . Observe que o ciclo limite agora é um 4-ciclo. Encontre o período T4 do movimento. Ocorreu outra bifurcação com duplicação de período para c entre 3 e 3,8 .

(c) Para   c   =   3,85 , mostre que o ciclo limite é um 8-ciclo. Verifique se seu período está muito próximo de oito vezes o período do ciclo limite simples no Problema 12.

Nota: À medida que c continua aumentando, há uma sequência acelerada de bifurcações com duplicação de período. Os valores de bifurcação de c convergem para um limite que marca o início do caos.

Passo 1

L e t r a   A :

A primeira coisa que devemos aqui é substituir as derivadas por 0 , já que estamos buscando os valores dos pontos críticos:

x ' = - y - z ,       y ' = x + 0,25 y ,       z ' = 0,5 + z x - c     →

0 = - y - z ,       0 = x + 0,25 y ,       0 = 0,5 + z x - c     →

Da segunda equação...

x = - 0,25 y  

E da primeira equação, tiramos que...

z = - y

Jogando esses dois últimos resultados na última equação...

0 = 0,5 + z x - c   →

0 = 0,5 - y - 0,25 y - c     →

Poxa! Uma equação do segundo grau:

0,25 y 2 + c y + 0,5 = 0

Substituindo então o c por 3 . 8 e resolvendo a equação do segundo grau...

0,25 y 2 + 3 y + 0,5 = 0   →

y 1 = - 15.0673         e           y 2 = - 0.1327

BELEZA! Substituindo então nas informações de x e de z ...

x = - 0,25 y           →                 x 1 = 3.7668 x 2 = 0.0332

z = - y       →               z 1 = 15.0673 z 2 = 0.1327

Os dois pontos críticos nesse caso então serão...

3.7668 ,   - 15.0673 ,   15.0673             e                 0.0 332 ,   - 0 . 1327 ,   0 . 1327

O jacobiano desse primeiro ponto será então...

J = 0 - 1 - 1 1 0,25 0 z 0 x - 0,5   →

J 3.7668 ,   - 15.0673 ,   15.0673 = 0 - 1 - 1 1 0,25 0 15.0673 0 3.7668 - 0,5     →

Jogando no Wolfram para obter seus autovalores ganharemos...

λ = 0 . 2324         e           λ = - 0.0078 ± 4.0078   i

MAS CALMA, meu Jovem! Temos um segundo ponto crítico e que certamente precisa ser avaliado também!

J 0.0332 ,   - 0.1327 ,   0.1327 = 0 - 1 - 1 1 0,25 0 0.1327 0 0.0332 - 0,5     →

Calculando os seus autovalores por sua vez obteremos...

λ = - 3.7335         e           λ = 0.1083 ± 0.9941   i

Passo 2

L e t r a   B :

Usando o mesmo código então do exercício 11, mas mudando o ponto inicial para o ponto pedido: ( 1 ,   0 ,   - 2 ) e considerando o c = 3 . 8 , aqui está o gráfico da solução no 3D, bem como os gráficos de x t , y t e z t feito no exercício anterior...

Da primeira figura a gente consegue ver aproximadamente 4 ciclos, neh?

E a segunda figura apenas confirma que de fato o período agora quadriplicou em relação ao exercício 12, pois os pontos de mínimo da função em laranja acontece mais ou menos entre o tempo t = 70 , e depois só volta acontecer em t = 94 , sugerindo um período de T = 24 , ou 4 × 6 .

Passo 3

L e t r a   C :

Fazendo os mesmos gráficos agora, mas para agora para c = 3.85 ...

A interpretação dessas figuras aqui já é menos intuitiva que as do passo anterior, mas ainda assim, veja pelos valores máximos da função amarela que há uma diferença de aproximadamente 48 , observe isso entre esses dois pontos de máximo aqui, oh:

Os pontos que marcam isso são os pretinhos ! De fato, 48 = 8 × 6 , sugerindo que o período foi multiplicado por 8 , nesse caso .

Resposta

Ei, a resposta está no passo a passo :)

Ver Outros Exercícios desse livro

Exercícios de Livros Relacionados

11. Neste problema, vamos mostrar que a função de Liapunov construída no problema precedente também é uma função de Liapunov para o sistema localmente linear ( i ) . Precisamos mostrar que existe algu
12. Neste problema, vamos provar uma parte do Teorema 9.3.2 relativa à instabilidade.(a) Mostre que, se a 11+a 220 e a 11 a 22–a 12 a 210 , então o ponto crítico do sistema linear ( i i ) é instável.(
14.(a) Examinando os gráficos de u em função de t nas Figuras 9.7.3, 9.7.5 e 9.7.7, estime o período T do oscilador de van der Pol nesses casos.(b) Calcule e faça o gráfico das soluções da equação de
17. Considere o sistema de van der Pol x ' = y , y ' = - x + μ 1 - x 2 y , em que permitimos agora que μ seja qualquer número real.(a) Mostre que a origem é o único ponto crítico. Determine seu tipo e
18. Considere o sistema x ' = x 2,4 - 0,2 x - 2 y x + 6 , y ' = y - 0,25 + x x + 6 Note que esse sistema só difere do sistema no Problema 13 da Seção 9.5 na taxa de crescimento da presa.(a) Encontre t