Enunciado

14. Determine o volume do sólido gerado pela rotação em torno do eixo x da região limitada por y = 2 tg ⁡ x , y = 0 , x = - π / 4 e x = π / 4 . (A região está situada nos primeiro e terceiro quadrantes, e assemelha-se a uma gravata-borboleta inclinada.)

Passo 1

Se nós desenharmos a função vamos ver que ela é dessa forma:

Usando o método do disco essa questão fica simples de resolver.

O raio do disco é igual ao valor da função 2 tg ⁡ x ,

R x = 2 tg ⁡ x

perceba que não importa se o valor da função é negativo ou positivo, quando calculamos a área do disco esse valor é elevado ao quadrado:

A x = π R x 2

A x = π 2 tg ⁡ x 2

Por fim, para descobrirmos o volume só precisamos aplicar a área na fórmula:

V = ∫ - π / 4 π / 4 π 4 tg 2 ⁡ x d x

Vamos usar a identidade trigonométrica

t g 2 ⁡ x = sec 2 ⁡ x - 1

e reescrever a equação:

V = 4 π ∫ - π / 4 π / 4 sec 2 ⁡ x - 1 d x

Integral de 1 é x e a integral de sec 2 ⁡ x é tg ⁡ x , então o volume fica:

V = 4 π tg ⁡ x - x - π / 4 π / 4

V = 4 π tg ⁡ π 4 - π 4 - 4 π tg ⁡ - π 4 - - π 4

V = 4 π 1 - π 4 - 4 π - 1 + π 4

V = 4 π 2 - π 2

V = 2 π 4 - π

Resposta

V = 2 π 4 - π

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