Enunciado

1-4. Seja f a função cujo gráfico é dado. Em quais (se houver) dos intervalos seguintes f é contínua?

1.

a) [ 1 ,   3 ]

b) ( 1 ,   3 )

c) [ 1 ,   2 ]

d) ( 1 ,   2 )

e) [ 2 ,   3 ]

f) ( 2 ,   3 )

Passo 1

Então pessoal, antes de respondermos as questões, devemos lembrar de um pequeno detalhe, que é a notação de ( ) e [ ] em intervalos! Quando há parênteses, isso implica que o intervalo é aberto, ou seja, a função não precisa estar definida exatamente no valor do intervalo, ok? Por outro lado, quando há colchetes, isso implica que o intervalo é fechado e a função está definida exatamente no valor do intervalo!

Outra coisa que vale ressaltar é que o limite não existe se os limites laterais não existirem, beleza? Sabendo disso já podemos responder as questões, então bora lá!

a) Se observarmos com calma o gráfico teremos que há uma descontinuidade em x = 2 , ou seja:

lim x → 2 ⁡ f x = ∄

Sendo assim, o intervalo não é contínuo.

b) Pelo mesmo motivo da letra anterior, há uma descontinuidade em x = 2 , isto é:

lim x → 2 ⁡ f x = ∄

Sendo assim, o intervalo não é contínuo.

Passo 2

c) Então pessoal, aqui temos um pequeno problema, que é o seguinte: o limite quando x → 2 pela esquerda é diferente do valor da função em x = 2 , ou seja:

lim x → 2 - ⁡ f x ≠ f 2

Que é uma incoerência no intervalo! Sendo assim, a conclusão é de que o intervalo não é contínuo.

d) Como dito no passo anterior, esse intervalo é aberto, ou seja, a função não está definida exatamente no valor do intervalo. Dessa forma, não nos interessa no valor da função em x = 2 , apenas nos valores ENTRE 1 e 2 . Sendo assim, podemos afirmar que o intervalo é contínuo.

Passo 3

e) Se observarmos o gráfico notaremos que a função para esse intervalo está totalmente definida, sem intervalos abertos e nem nada. Dessa forma, podemos dizer que o intervalo é contínuo.

f) Pelo mesmo motivo da letra anterior podemos dizer que o intervalo aqui também é contínuo.

Resposta

a) Não é contínuo.

b) Não é contínuo.

c) Não é contínuo.

d) É contínuo.

e) É contínuo.

f) É contínuo.

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Do gráfico de g , diga os intervalos em que g é contínua.
Use a definição de continuidade e propriedades de limites para mostrar que a função é contínua no intervalo dado. f x =2 x + 3 x - 2 , ( 2 ,∞ )
Explique por que a função é descontínua no dado número a . Esboce o gráfico da função. f x = ln ⁡ x - 2 ,a = 2
Use a definição de continuidade e propriedades dos limites para demonstrar que a função é contínua em um dado número a . h t = 2 t - 3 t 2 1 + t 3 , e ma = 1 .
Use a definição de continuidade e propriedades de limites para mostrar que a função é contínua no intervalo dado. g x =2 3 - x , ( - ∞ ,3 ]