Enunciado

14.15. Determine os valores máximos e mínimos locais e pontos de sela da função. Se você tiver um programa para traçar gráficos tridimensionais no computador, utilize-o com a janela de inspeção e o ponto de vista que mostre os aspectos importantes da função.

f x , y = x sin ⁡ y

Passo 1

A gente tem que determinar os pontos extremos da nossa função, e depois ver se são pontos de mínimo, de máximo ou um ponto de sela.

Para a gente fazer isso, a gente tem que trabalhar com as derivadas, acontece o seguinte, a gente deriva a função e iguala a derivada à 0, então nós teremos nosso ponto de interesse.

Vamos começar determinando nossas derivadas

f x , y = x sin ⁡ y

Vamos derivar primeiro em relação à x , basta tratar sin ⁡ y como uma constante

f x = sin ⁡ y

E agora em relação a y

f y = x cos ⁡ y

Passo 2

Beleza, agora a gente já tem nossas derivadas, os pontos interessantes vão acontecer quando elas forem iguais à 0. Então

f x = sin ⁡ y = 0

f y = x cos ⁡ y = 0

Vamos usar a primeira equação

sin ⁡ y = 0

Nós só precisamos saber quando o seno é zero. Isso acontece quando y = n π , sendo que n é um número inteiro.

Agora analisando f y . Uma condição é x = 0 , para cada valor onde y = n π .

Então nossos pontos de interesse são os pontos do tipo

( 0 ,   n π )

Passo 3

Já temos nossos pontos de interesse, mas falta dizer se são máximos, mínimos ou pontos de sela, para isso a gente precisa da segunda derivada, vamos usar

D x , y = f x x ⋅ f x y - f x y 2

Podem ocorrer três casos:

  1. D ( a , b ) > 0   e   f x x a , b > 0 então f ( a , b ) é um mínimo local.
  2. D a , b > 0   e   f x x a , b < 0 então f ( a , b ) é um máximo local.
  3. D a , b < 0   então f ( a , b ) não é nem mínimo e nem máximo local.

Vamos calcular as segundas derivadas então

f x x = ∂ f x ∂ x

f x = sin ⁡ y

Agora derivamos isso em relação a x

f x x = ∂ sin ⁡ y ∂ x = 0

A outra derivada que precisamos é

f y y = ∂ f y ∂ y

f y = x cos ⁡ y

Derivando em relação a y

f y y = ∂ x cos ⁡ y ∂ y = - x sin ⁡ y

E a última derivada que precisamos é

f x y = ∂ f x ∂ y

ou f x y = ∂ f y ∂ x

f x = sin ⁡ y

Vamos derivar isso em relação a y

f x y = ∂ sin ⁡ y ∂ y = cos ⁡ y

Então

D x , y = 0 ⋅ - x sin ⁡ y - cos ⁡ y 2

D x , y = - c o s 2 y

Passo 4

Vamos testar para o ponto 0 ,   n π

D 0 , n π = - c o s 2 n π

Esse valor será sempre negativo pois cos 2 ⁡ n π é sempre positivo.

Então

D 0 ,   n π < 0

Logo todos os pontos de interesse são pontos de sela.

Passo 5

Agora só falta fazer o gráfico.

Resposta

0 ,   n π

São todos pontos de sela.

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