Enunciado

Estabeleça as equações paramétricas para a reta tangente a curva dada pelas equações paramétricas, no ponto especificado. Ilustre traçando o gráfico da curva e da reta tangente em uma mesma tela.

x = t ,   y = 2 cos ⁡ t ,   z = 2 s e n   t           ( π / 4,1 , 1 )

Passo 1

Para encontrarmos a equação paramétrica da reta tangente precisamos primeiramente saber quem é nossa equação vetorial. Neste caso é:

r → t = t , 2 cos ⁡ t , 2 s e n   t

Desta forma a equação paramétrica da reta tangente é dada por um ponto e por um vetor pertencente a essa reta.

O ponto pertencente a essa reta já é dado:   ( π / 4,1 , 1 ) . Já o vetor nos precisamos encontrar e ele é dado pela derivada da equação vetorial da superfície.

Passo 2

Desta forma a derivada de uma equação vetorial é a derivada de cada componente.

Derivada da componente i ^ :

d d t t = 1

Derivada da componente j ^ :

d d t 2 cos ⁡ t = - 2 s e n   t

Derivada da componente k ^ :

d d t 2   s e n   t = 2 cos ⁡ t

Portanto r → ' ( t ) é:

r → ' t = 1 , - 2   s e n   t , 2 cos ⁡ t

Passo 3

O ponto dado ( π / 4,1 , 1 ) pertencente a reta tangente corresponde ao parâmetro t = π / 4 , aplicando em r → ' t temos:

r → ' π / 4 = 1 , - 1,1

Desta forma a equação paramétrica da reta tangente é:

x = π 4 + t

y = 1 - t

z = 1 + t

Passo 4

O gráfico da curva com a reta tangente é:

Resposta

A equação paramétrica da reta tangente é:

x = π 4 + t

y = 1 - t

z = 1 + t

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